Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1964 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

• $2^n-1$ sayısının $7$ ile bölünebildiği tüm $n$ pozitif tam sayılarını bulunuz.
• $2^n+1$ sayısının $7$ ile bölünmesini sağlayan bir $n$ pozitif tam sayısının olmadığını gösteriniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

a-) $7|2^n-1$ miş. $2^n$ i $(2^3)^{n-3}$ şeklinde yazalım. $8\equiv 1\pmod 7$ olduğu için şu hali alır.     $7|1^{n-3}-1$ Bu da her $n\ge3$ için sağlanır. $n=2$ ve $n=1$ için sağlanmayacağını da ayrıca görüyoruz.

b-)$7|2^n+1$ ise yine yukarıda yaptığımızı uygularsak $7|1^{n-3}+1$ olur. Bu da imkansızdır. $n\ge3$ için çözüm olmadığını görürüz. $n=2$ ve $n=1$ için sağlanmayacağını da ayrıca görüyoruz.