Üçgen İçerisinde bir P Noktası, Model 4.8 veya 4.9

[AhmetG]

$ABC$ üçgeninin içinde $P$ noktası alınmıştır.

$\angle ABP=20^\circ$, $\angle BAP=20^\circ$, $\angle BCP=80^\circ$ ve $\angle PCA=30^\circ$.

Buna göre $\angle BPC$ kaç derecedir?

Not: Problem, diğer tür sorularda kullandığımız, kirişler dörtgeni yöntemiyle farklı modellere benzetme metodu (formu gereği) kullanılamadığından bana biraz zor geldi. Değerli hocalarım incelerse memnun olurum. İyi Çalışmalar...

[geo]

Model 4.9 un çözümü daha önce yapılmış.

[geo]

Model 4.8

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $\angle BAP =2t$, $\angle PAC = 90^\circ - t$, $\angle ACP = 30^\circ$ ve $\angle BCP = 30^\circ - t$ olacak şekilde $P$ noktası alınıyor. $\angle ABP = t$ ve $\angle CBP =30^\circ - t$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

$A$ nın $CP$ ye göre simetriği $A'$ olsun. $AA' \perp CP$ ve $\angle ACP = \angle A'CP = 30^\circ$. Dolasıyla $\triangle CAA'$ eşkenar üçgendir.
$\angle PAA' = \angle PA'A = 30^\circ - t$.
$\angle AA'C = 2\angle ABC = 60^\circ$ ve $AA'=CA'$ olduğu için $ABC$ üçgeninin çevrel merkezi $A'$ noktasıdır. $BA' = A'C$.
$\angle PA'C = \angle PAC = 90^\circ - t$ ve $\angle CBA' = \angle BCA' = t$ olduğu için $PA' \perp BC$. Dolayısıyla $BP=PC$, yani $\angle CBP = \angle BCP = 30^\circ - t$ ve $\angle ABP = t$.