Geniş Açılı Üçgende Açı Sorusu

[AhmetG]

Bir ABC üçgeninde içinde alınan P noktası için.

∠ABP=10°
∠PAC=10°
∠ACP=10°
∠BCP=100° olarak verilmiştir

Buna göre x=∠PBC kaç derecedir?

(Trigonometrik çözümü yapılabilir.Sentetik çözümünü forumda biraz aradım, ama galiba daha önce çözülmemiş.)

[geo]

$BC$ üzerinde $B'$ noktasını, $\angle PB'C=20^\circ$ olacak şekilde alırsak, problem Model 2.4 ya da Model 2.7 ye döner. $\angle AB'P=\angle ABP =10^\circ$ olur. $ABP$ çevrel çemberi $B'$ noktasından geçer.
Sorun şu ki, $B'$ noktası, $B$ ile $C$ arasında, $B$ nin üzerinde ya da $CB$ uzantısı üzerinde olabilir.
İlki sağlamaz, diğer ikisi sağlar. Bu durumda, $\angle PBC = 20^\circ$ ya da $\angle PBC = 30^\circ$ olur.

$BC$ üzerinde $B'$ noktasını, $\angle PB'C=30^\circ$ alırsak da, soru Model 2.6'ya ya da Model 2.9'a döner.

[AhmetG]

Elinize sağlık hocam. Buna dayanan Model 2.9'un sorusunun çözümünü de ben paylaşayım o zaman.



$[AC]$ tabanlı eşkenar üçgeni oluşturalım. $APC$ ikizkenar olduğu için $[DP]$ açıortaydır. $\angle PDC=\angle PBC=30^\circ$ olduğundan $DPCB$ kirişler dörtgenidir. $\angle BDC=\angle DCB=50^\circ$ olduğundan $|BD|=|BC|$ olur. $|AD|=|AC|$ ve $\angle ADB=\angle ACB=110^\circ$ olduğundan $\triangle ACB\cong\triangle ADB$ olur. Dolayısıyla $ADBC$ bir deltoiddir ve $[AB]$ açıortaydır. Buradan da $\angle ABP=10^\circ$ bulunur.

[geo]

$\angle CBP = 20^\circ$ olduğu durum için bir çözüm vereyim. Bu konfigürasyon Model 2.7'in konfigürasyonudur; ama aşağıda vereceğim çözüm sadece bu soru içindir. Genel bir çözüm değildir.



$\angle BPC = 60^\circ$, $AP=PC$.
$[BP]$ üzerinde $PC=PD$ olacak şekilde $D$ alalım. $\triangle PDC$ eşkenardır. $P$, $\triangle ADC$ nin çevrel merkezidir. $\angle ADP = \angle DAP=20^\circ$.

$[BC]$ üzerinde $DC=DE$ olacak şekilde $E$ noktası alalım.
$\angle DEC=\angle DCE=40^\circ$.
$\angle BDE = \angle DBE = 20^\circ$ ve $BE=DE$.

$\triangle APD \cong \triangle DEB$. Bu durumda $BD=AD$ ve $\angle ABD = \angle BAD = 10^\circ$. Buradan da, $\angle ABP=10^\circ$ ve $\angle BAP=30^\circ$ elde edilir.

[geo]

Model 2.7 için şöyle bir çözüm verilebilir:

Soru: $\angle CBP = 2t$, $\angle BCP=90^\circ - t$, $\angle PCA = \angle PAC = 30^\circ - 2t$ ise $\angle BAP=30^\circ$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

$P$ merkezli, $PA$ yarıçaplı çember; $[BC$ nin uzantısını $D$ de kessin.
$\angle PDC=\angle PCD = 90^\circ - t$. $\angle CPD = 2t = 2\angle CAD \Longrightarrow \angle CAD= t$. $\angle PAD=\angle PDA=30^\circ -t$.

Bu durumda, $\triangle ABD$ için $P$ noktası Model 4.7 $(30-t,90-t) : (2t, 30-t) \to (t,30)$ problemine dönecektir.