Geniş Açılı Üçgende Açı Sorusu

[AhmetG]

Bir ABC üçgeninde içinde alınan P noktası için.

∠ABP=10°
∠PAC=10°
∠ACP=10°
∠BCP=100° olarak verilmiştir

Buna göre x=∠PBC kaç derecedir?

(Trigonometrik çözümü yapılabilir.Sentetik çözümünü forumda biraz aradım, ama galiba daha önce çözülmemiş.)

[geo]

$BC$ üzerinde $B'$ noktasını, $\angle PB'C=20^\circ$ olacak şekilde alırsak, problem Model 2.7 ye döner. $\angle AB'P=\angle ABP =10^\circ$ olur. $ABP$ çevrel çemberi $B'$ noktasından geçer.
Sorun şu ki, $B'$ noktası, $B$ ile $C$ arasında, $B$ nin üzerinde ya da $CB$ uzantısı üzerinde olabilir.
İlki sağlamaz, diğer ikisi sağlar. Bu durumda, $\angle PBC = 20^\circ$ ya da $\angle PBC = 30^\circ$ olur.

$BC$ üzerinde $B'$ noktasını, $\angle PB'C=30^\circ$ alırsak da, soru Model 2.9 a döner.

[AhmetG]

Elinize sağlık hocam. Buna dayanan Model 2.9'un sorusunun çözümünü de ben paylaşayım o zaman.



$[AC]$ tabanlı eşkenar üçgeni oluşturalım. $APC$ ikizkenar olduğu için $[DP]$ açıortaydır. $\angle PDC=\angle PBC=30^\circ$ olduğundan $DPCB$ kirişler dörtgenidir. $\angle BDC=\angle DCB=50^\circ$ olduğundan $|BD|=|BC|$ olur. $|AD|=|AC|$ ve $\angle ADB=\angle ACB=110^\circ$ olduğundan $\triangle ACB\cong\triangle ADB$ olur. Dolayısıyla $ADBC$ bir deltoiddir ve $[AB]$ açıortaydır. Buradan da $\angle ABP=10^\circ$ bulunur.