Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2026 Soru 04

[geo]

Bir öğretmen ve $N$ öğrencinin katıldığı bir satranç turnuvasında her öğrenci ikilisi kendi aralarında tam olarak bir, öğretmen ise bazı öğrencilerle birer maç yapmıştır. Turnuvada yapılan toplam maç sayısı $61$ olduğuna göre, öğretmenin bu turnuvada yaptığı maç sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad \textbf{b)}\ 4 \qquad \textbf{c)}\ 5 \qquad \textbf{d)}\ 6 \qquad \textbf{e)}\ 7$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Öğrencilerin kendi aralarında yaptığı maç sayısı $\binom{N}{2}=\frac{N(N-1)}{2}$'dir. Öğretmen hiç maç yapmamışsa bu kadar maç yapılmıştır, en yüksek durumda (herkesle maç yaptığı durumda) ise $+N$ fazla maç yapılmıştır. Bunu aslında öğretmeni de $(N+1).$ oyuncu olacağından $\binom{N+1}{2}$ olarak düşünebiliriz. $$\binom{N}{2}\leq 61\leq \binom{N+1}{2}$$ olacaktır. $N$'nin değerleri için denersek, $N=11$ için $61$'in bu aralıkta olduğunu görürüz çünkü $\binom{11}{2}=55$, $\binom{12}{2}=66$'dır. Yani öğrenciler kendi arasında $55$ maç yapmıştır, $61-55=6$ maçı da öğretmen yapmıştır.