Soruda asal demiyor ama başlıkta öyle yazdığından $p$ ve $q$'yu asal kabul edeceğim.
$5^p-3^p$'yi $p$ modunda incelersek, Fermat teoreminden, $$5^p-3^p\equiv 5-3\equiv 2\pmod{p}$$ olduğundan $(p,5^p-3^p)=1$'dir. Dolayısıyla, $$pq\mid (5^q-3^q)(5^p-3^p)\iff p\mid 5^q-3^q\quad\text{ve}\quad q\mid 5^p-3^p$$ ve $p\neq q$ olacaktır. $3$'ün $p$ ve $q$ modundaki tersleri sırasıyla $a$ ve $b$ olsun. Çin kalan teoreminden, $x\equiv a\pmod{p}$ ve $x\equiv b\pmod{q}$ olacak şekilde bir $x$ vardır. $$5^q\equiv 3^q\pmod{p}\implies (5x)^q\equiv (3x)^q\equiv 1\pmod{p}$$ ve benzer şekilde $(5x)^p\equiv 1\pmod{q}$ olacaktır. Genelliği bozmadan $p>q$ olsun. $5x$'nin $p$ ve $q$ modundaki mertebeleri sırasıyla $d_1$ ve $d_2$ olsun. $d_1\mid (q,p-1)$ ve $d_2\mid (p,q-1)$ olacaktır. $q-1<p$ olduğundan $d_2=1$ olacaktır. Dolayısıyla, $$5x\equiv 1\pmod{q}\implies 5(3x)\equiv 3\pmod{q}\implies 5\equiv 3\pmod{q}$$ elde edilir ancak $q>5$ olduğundan çözüm yoktur.
