Mersenne asalları ve Fermat sayıları

[ahmedsyldz]

$M_n = 2^n - 1$ Mersenne sayılarını ve $F_n = 2^{2^n} + 1$ Fermat sayılarını göstersin. Eğer ki $M_n$ bir Mersenne asalı ise (yani $2^n - 1$ formundaki bir asal sayı ise) $k \in \mathbb{N}$ ve $t = n - 1$ olmak üzere $\{F_k, F_{k + t}, F_{k + 2t}, F_{k + 3t}, \cdots\}$ kümesindeki tüm elemanların $M_n$ modunda birbirine denk olduğunu ispatlayınız.
Örneğin; $M_3 = 7$ bir mersenne asalıdır ve $t = 2$ olduğundan $F_3 \equiv F_5 \equiv F_7 \equiv \cdots \equiv 5 \pmod{7}$ olur.

[Metin Can Aydemir]

$F_k\equiv F_{k+n-1}\pmod{M_n}$ olduğunu göstermemiz yeterlidir çünkü $k$ yerine $k+n-1$ yazarak, $F_k\equiv F_{k+t}\equiv F_{k+2t}$ olduğunu gösterebiliriz ve bunu devam ettirebiliriz.

$M_n=2^n-1=p$ bir asal sayıysa $$F_{k+n-1}=2^{2^{k+n-1}}+1=2^{2^n\cdot 2^{k-1}}+1=\left(2^{p+1}\right)^{2^{k-1}}+1$$ olacaktır. Fermat teoreminden $2^{p+1}\equiv 2^2\pmod{p}$ olduğundan $$F_{k+n-1}\equiv \left(2^2\right)^{2^{k-1}}+1\equiv 2^{2^k}+1\equiv F_k\pmod{p}$$ bulunur.