Genelleştirilmiş JBMO 2022 #1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$\lambda \in \left(2,\dfrac{13+3\sqrt{21}}{2}\right)$ reelleri için aşağıdaki eşitsizliği sağlayan
$$\lambda ab\leq a^3-b^3\leq \left(\lambda +1\right)ab$$
pozitif tam sayı $(a,b)$ ikililerin,
$$b\in \left(\dfrac{\left(\lambda -2\right)^3}{27\left(3b+\lambda -2\right)},\dfrac{\left(\lambda -2\right)^3}{18\left(3b+\lambda -2\right)}\right)$$
sadece üstteki aralıkta olan $b$ ler için bir çözüm ürettiği ve çözümün $\left(a,b\right)=\left(\dfrac{3b+\lambda -2}{3},b\right)$ olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\lambda =11$$
verildiğinde problem JBMO 2022 #1'e dönüşür.

Ki $\lambda =11$ verildiğinde
$$\dfrac{11^3}{27}\leq 3b(b+3)\leq \dfrac{11^3}{18}$$
eşitsizliğini sağlayan sadece bir $b=2$ değeri vardır.
Tek çözüm ise $\left(\dfrac{3b+9}{3},b\right)=(5,2)$ dir.