Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1996 Soru 16

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ ikizkenar üçgeninin eş kenarları $[AB]$ ve $[AC]$ dir. $[AB]$ üzerinde $|AB|=5|AD|$ olacak biçimde bir $D$ noktası alınarak $[CD]$ çiziliyor. $ABC$ üçgeninin $A$ dan geçen $[AE]$ yüksekliği $[CD]$ yi $F$ noktasında kestiğine göre $\dfrac{|AE|}{|AF|}$ kaç olur?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac52  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac32$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{C}$

İkizkenar üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortay olacağından $|BE|=|EC|$'dir. $|AD|=k$ dersek $|AB|=5k$ ve dolayısıyla $|BD|=4k$ olur. $CEBDAFE$ hattında Menelaus Teoremini uygularsak
$$\dfrac{|CE|}{|CB|} \cdot \dfrac{|BD|}{|DA|} \cdot \dfrac{|AF|}{|FE|} = 1 \implies \dfrac12 \cdot \dfrac{4k}{k} \cdot \dfrac{|AF|}{|FE|} =1 \implies \dfrac{|AF|}{|FE|}=\dfrac12$$
bulunur. Buradan da $|AF|=m$ ve $|FE|=2m$ yazarsak $\dfrac{|AE|}{|AF|}=\dfrac{3m}{m}=3$ elde ederiz.