Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 12

[geo]

Aşağıdaki $P(x)$ polinomlarından hangisi için, $P(x) = Q(x)(x^2+1) + R(x)(x-1)$ olacak şekilde tamsayı katsayılı $Q(x)$ ve $R(x)$ polinomları vardır?

$\textbf{a)}\ P(x) = x^9 + 2x^6 + 3x^5 + 2x$
$\textbf{b)}\ P(x) = x^9 + x^7 + 2x + 1$
$\textbf{c)}\ P(x) = x^9 + 2x^6 + x^4 + 3x$
$\textbf{d)}\ P(x) = x^9 + 4x^7 + x^3 + 3x + 2$
$\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed {A}$

$P(1) = Q(1)\cdot 2 + R(1) \cdot 0  = 2Q(1)$.
$Q(x)$ tam sayı katsayılı olduğu $Q(1)$ tam sayıdır. Dolayısıyla $P(1)$ çift tam sayıdır.

Şıklardan sadece $A$ seçeneğindeki $P(x)=x^9 + 2x^6 + 3x^5 + 2x$, $(P(1)=8)$ çift tam sayı değer verir.

$Q(x) = 4$ polinomu için,
$P(x) = x^9 + 2x^6 + 3x^5 + 2x = 4(x^2 + 1) + R(x)(x-1)$ eşitliğini sağlayan $R(x)$ polinomu vardır.

($R(x) = x^8 + x^7 + x^6 + 3 x^5 + 6 x^4 + 6 x^3 + 6 x^2 + 2 x + 4$)