Geomania.Org Forumları

Kenar uzunluğu $24$ olan bir ABCD karesinin $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ ve $[DA]$ kenarlan üzerinde sırasıyla, $E$, $F$, $G$ ve $H$ noktaları alınıyor. $|DG|=|DH|= 9$ ve $EFGH$ dörtgeni, tabanlarından biri $[HG]$ olan bir yamuk ise, bu yamuğun alanı en çok kaç olur?

$
\textbf{a)}\ 441
\qquad\textbf{b)}\ 306
\qquad\textbf{c)}\ 288
\qquad\textbf{d)}\ 270
\qquad\textbf{e)}\ 225
$

Kenar uzunlukları $|AB|= 5$, $|BC| = 4$ ve $|AC|= 7$ olan ABC üçgeninin köşeleri merkez alınarak, ikişer ikişer birbirine dıştan teğet üç çember çiziliyor. $B$ ve $C$ merkezli çemberlerin değme noktası $E$ ise, $|AE|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt 6
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt 7
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt 5
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt 6
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt 7
$

$N$ sayısının ondalık yazılımında birler basamağındaki rakam $2$'dir. Bu rakamı bulunduğu yerden kaldırıp en başa yazdığımızda elde ettiğimiz sayı $N$'nin iki katı ise, $N$'nin basamak sayısı en az kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 36
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 18
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

$A, B, C, D$ den her birinin ya her söylediği yalan, ya da her söylediği doğrudur. Aralarında şu konuşma geçer: $A$, $B$ ye "Sen yalancısın" der. $C$, $A$ ya "Asıl sen yalancısın" der. $D$, $C$ ye bunların ($A$ ve $B$ nin) ikisi de yalancı der ve "Ayrıca sen de yalancısın" diye ekler. Bu dört kişi içindeki yalancıların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ \{B, C, D\}
\qquad\textbf{b)}\ \{B, D\}
\qquad\textbf{c)}\ \{A, B, C\}
\qquad\textbf{d)}\ \{A, C\}
\qquad\textbf{e)}\ \{A, D\}
$

$a, b, c, d, e, f, g, h, i, j$ harfleri, $a$, $b$'den ve $c$ de $d$'den daha önce gelmek koşulu ile kaç değişik şekilde sıralanabilir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {10!}{4!5!}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {10!}{4}
\qquad\textbf{c)}\ 8!
\qquad\textbf{d)}\ 4\cdot 6!
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\{(x, y) \in R^2:y=x - 3\}$, $\{(x, y) \in R^2:y = (x-3)^2\}$, $\{(x, y) \in R^2:y =(x - 3)^3 \}$ kümelerinden en az ikisine ait olan noktaların sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$m$ ve $n$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $2n^2-36 = m^2-mn$ denklemini sağlayan kaç $(m, n)$ sıralı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 0
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

$[AC]$ ve $[BD]$ köşegenlerinin orta noktaları, sırasıyla $M$ ve $N$ ($M \neq N$) olan bir $ABCD$ dörtgeninde $MN$ doğrusu $[AD]$ kenarını $P$, $[BC]$ kenarını da $Q$ noktasında kesiyor.
$ \text{Alan}(MAP)=x$ ve $\text{Alan}(PDCM)=y$ ise, $\dfrac{|QB|}{|QC|}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {y-x}{x}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {y-2x}{2x}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac {x+2y}{2y}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac {y-x}{2x}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac {2x+y}{y}
$

$(a_n)_{n = 1}^{\infty}$ tamsayı dizisi, $a_1\equiv 1 \pmod {13}$, $a_2 \equiv 4 \pmod {13}$ ve $n \geq 3$ için, $a_n=4a_{n-1}-4a_{n-2} \pmod {13}$ koşulunu sağlıyorsa, $a_{100} \pmod {13}$ aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$T = \dfrac{1}{1\sqrt {2}+ 2\sqrt {1}} + \dfrac{1}{2\sqrt {3}+ 3\sqrt {2}} + \dfrac{1}{3\sqrt {2}+ 4\sqrt {3}} + \dots + \dfrac{1}{1996\sqrt {1997}+ 1997\sqrt {1996}}$ toplamı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ \dfrac {43}{44} < T < \dfrac {44}{45}$

$\textbf{b)}\ \dfrac {43}{176} < T < \dfrac {43}{88}$

$\textbf{c)}\ T = \dfrac {1995}{1996 \cdot 1997}$

$\textbf{d)}\ T = \dfrac {1996}{1997 \cdot 1998}$

$\textbf{e)}\ \text {Hiçbiri}$

$|AC|=4\sqrt 3$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$, $[BC]$ ve $[CA]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $D$, $E$ ve $F$ dir. $D$, $B$ ve $E$ noktalarından geçen çember, bu üçgenin ağırlık merkezinden de geçiyorsa, $|BF|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 4 \sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 3 \sqrt 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

Aşağıdaki $P(x)$ polinomlarından hangisi için, $P(x) = Q(x)(x^2+1) + R(x)(x-1)$ olacak şekilde tamsayı katsayılı $Q(x)$ ve $R(x)$ polinomları vardır?

$
\textbf{a)}\ P(x) = x^9 + 2x^6 + 3x^5 + 2x \\
\textbf{b)}\ P(x) = x^9 + x^7 + 2x + 1 \\
\textbf{c)}\ P(x) = x^9 + 2x^6 + x^4 + 3x \\
\textbf{d)}\ P(x) = x^9 + 4x^7 + x^3 + 3x + 2 \\
\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$[a]$ ile $a$ gerçel sayısını aşmayan en büyük tam sayıyı gösterelim. Her $x$ gerçel sayısı için$,$

$f(x)=x-\left[\dfrac{x}{2}\right]-\left[\dfrac{x}{3}\right]-\left[\dfrac{x}{6}\right]$

olarak tanımlanan fonksiyonun değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ [0,1)  \qquad\textbf{b)}\ [0,2)  \qquad\textbf{c)}\ [0,3)  \qquad\textbf{d)}\ [0,4)  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Dışbükey bir  $ABCD$ dörtgeninin köşegenlerinin kesişim noktası $O,\ AOB$ üçgeni ve $COD$ üçgeninin alanları sırasıyla $4$ ve $9$ ise bu dörtgenin alanı en az kaç olur?

$\textbf{a)}\ 20  \qquad\textbf{b)}\ 22  \qquad\textbf{c)}\ 24  \qquad\textbf{d)}\ 25  \qquad\textbf{e)}\ 27$

Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $|AD|=2,\ m(\widehat{ABD})=m(\widehat{ACD})=90^{\circ},\ E$ ve $F$ noktaları sırasıyla $ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin merkezi olmak üzere$,\ |EF|=\sqrt2$  ise $|BC|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt3}{2}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3\sqrt2}{2}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt5}{2}  \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt5$

$2x^2+ky^2\equiv z^2\pmod{32}$ denkliğinin$;\ x,y,z$ tek tam sayılar olmak üzere$,$ en az bir çözümünün bulunmasını sağlayan $k$ tam sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \{k:k \equiv 7 \pmod{16} \}  \qquad\textbf{b)}\ \{k:k \equiv 7 \pmod{32} \}  \qquad\textbf{c)}\ \{k:k \equiv 7 \pmod{8} \}$

$\textbf{d)}\ \{k:k \equiv 7 \pmod{4} \}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$S$ kümesinin her elemanı $T$ kümesinin her elemanından küçük olmak üzere$,\ 1$ den $100$ e kadar olan tam sayılardan $10$ ar elemanlık $S$ ve $T$ kümeleri kaç değişik şekilde seçilebilir?

$\textbf{a)}\ \dfrac12 \dbinom{100}{10} \dbinom{90}{10}  \qquad\textbf{b)}\ \dbinom{100}{10} \dbinom{90}{10}  \qquad\textbf{c)}\ \dbinom{100}{20}  \qquad\textbf{d)}\ \dbinom{100}{10}^2  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$x,y,z$ gerçek sayılar olmak üzere$,\ x^3-y=24,\ y^3-z=24,\ z^3-x=24$ denklem sisteminin kaç çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$a,\ b,\ c$ adındaki üç adam$,$ adları (aynı sırayla olması gerekmeksizin) $x,\ y,\ z$ olan eşleri ile kitap almaya çıkarlar. Kitapların fiyatları tam sayılar olup bir kişinin aldığı tüm kitapların fiyatı aynıdır. Bu altı kişiden her biri bu alışverişte bir kitaba ödediği para kadar kitap alır. Adamlardan her biri kendi eşinden $63$ lira$;\ a,\ y$ den $23$ lira$;\ b$ de $x$ ten $11$ lira daha fazla harcar. $d$ nin $w$ ile evli olma durumunu $(d,w)$ ile gösterirsek$,$ aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ (a,z)\ ,(b,x)\ ,(c,y)  \qquad\textbf{b)}\ (a,y)\ ,(b,z)\ ,(c,x)  \qquad\textbf{c)}\ (a,x)\ ,(b,y)\ ,(c,z)$ 
$\textbf{d)}\ (a,z)\ ,(b,y)\ ,(c,x)  \qquad\textbf{e)}\ (a,y)\ ,(b,x)\ ,(c,z)$ 

$1<n<200$ koşulunu sağlayan ve $1$'den büyük hiçbir tam sayının karesi ile bölünmeyen kaç $n$ tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 116  \qquad\textbf{b)}\ 112  \qquad\textbf{c)}\ 121  \qquad\textbf{d)}\ 111  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Bir çembere$,$ dışındaki bir $A$ noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları $B$ ve $C$ dir. $[AB]$ ve $[BC]$ nin orta noktaları sırasıyla $D$ ve $E,\ CD$ doğrusunun çemberi kestiği diğer nokta $F$ olmak üzere$,\ m(\widehat{BAC})=36^{\circ}$ ise $m(\widehat{EFC})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 36  \qquad\textbf{b)}\ 45  \qquad\textbf{c)}\ 54  \qquad\textbf{d)}\ 60  \qquad\textbf{e)}\ 72$

$x^3-7x+1=0$ denkleminin$,$ varsa$,$ pozitif köklerinin (çarpma işlemine göre) terslerinin toplamını $S$ ile gösterirsek$,$ aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ \dfrac{13}{2}<S<7  \qquad\textbf{b)}\ 7<S<\dfrac{15}{2}  \qquad\textbf{c)}\ S=7  \qquad\textbf{d)}\ \text{Denklemin pozitif kökü yoktur.}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$0<n<945$ ve $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n k^2 \equiv 0 \pmod{105}$ koşullarını sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 80  \qquad\textbf{b)}\ 89  \qquad\textbf{c)}\ 82  \qquad\textbf{d)}\ 90  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Tahtaya $1$ den $12$ ye kadar olan tam sayıları yazalım. Her adımda bu $12$ sayıdan ikisini silerek, ya toplamlarının ya da farklarının mutlak değerini iki kere yazıyoruz. Sonlu sayıda adım sonucunda tahtaya yazılı sayıların hepsi aynı $n$ tam sayısına eşit hale geliyor. $n$ aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$\textbf{a)}\ 9  \qquad\textbf{b)}\ 24  \qquad\textbf{c)}\ 10  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$[AB]$ çaplı bir çemberin $[AC]$ ve $[BD]$ kirişlerinin kesişim noktası $P$ olmak üzere$,\ |AP|=2\sqrt2,\ |PC|=3\sqrt2$ ve $|AB|=5\sqrt3$ ise $|BP|.|BD|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 55  \qquad\textbf{b)}\ 48  \qquad\textbf{c)}\ 30\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 25\sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ 36$

$O$ merkezli $R$ yarıçaplı bir çemberin $[OA]$ ve $[OB]$ yarıçapları üzerinde sırasıyla $L$ ve $M$ noktaları alınıyor. $AB$ yayının orta noktası $K$ olmak üzere$,\ KLM$ üçgeni eşkenar üçgen ve $Alan(KLM)=\dfrac{(2\sqrt3-3)R^2}{8}$  ise $m(\widehat{AOB})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 15  \qquad\textbf{b)}\ 30  \qquad\textbf{c)}\ 45  \qquad\textbf{d)}\ 60  \qquad\textbf{e)}\ 75$

$n$ elemanlı her $\{x_1, x_2, ..., x_n \}$ negatif olmayan gerçel sayı kümesinde$,\ 0<\dfrac{|x_i-x_j|}{(3+x_i)(3+x_j)}<\dfrac{1}{33}$ olacak şekilde en az iki $x_i , x_j$ elemanının var olmasını gerektiren en küçük $n$ tam sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 34  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 100  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Ondalık yazılımlarında hiçbir rakamın yan yana tekrarlanmadığı ve $1 \leq n \leq 10^{1997}$ koşulunu sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 9^{1997}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{9^{1998}-9}{8}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{9^{1997}-1}{8}  \qquad\textbf{d)}\ 10.9^{1996}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$a,b$ sıfırdan farklı ve $c$ pozitif olmak üzere$,\ a,b,c$ tam sayıları$,\ \dfrac{5}{663}=\dfrac{a}{17}+\dfrac{b}{c}$ denklemini sağlıyorsa $b$'nin alabileceği en küçük pozitif değer nedir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 44  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 76  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

İçlerinde siyah ve beyaz toplar olan iki torbada toplam $25$ top var. Her torbadan rasgele birer top alındığında her ikisinin de beyaz olma olasılığı $0,54$ ise her ikisinin de siyah olma olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ 0,46  \qquad\textbf{b)}\ 0,04  \qquad\textbf{c)}\ 0,16  \qquad\textbf{d)}\ \text{Verilenler bu olasılığı belirlemek için yeterli değil.}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$x_1,x_2,...,x_{100}$ negatif olmayan gerçel sayılar ve $x_1+x_2+ \cdots +x_{100}=100$ ise $x_1 . x_2+x_2 . x_3+x_3 . x_4+ ... +x_{98} . x_{99}+x_{99} . x_{100}$ toplamının alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 99  \qquad\textbf{b)}\ 199  \qquad\textbf{c)}\ 2500  \qquad\textbf{d)}\ 5000  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$\dfrac{2^{p-1}-1}{p}$ sayısının tam kare olmasını sağlayan kaç $p$ asal sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

$[a]$ ile $a$ gerçel sayısını aşmayan en büyük tam sayıyı gösterelim.

$\left[x\right]+[3x]+[5x]+[7x]+[11x]+[13x]=1994$
$\left[x\right]+[3x]+[5x]+[7x]+[11x]+[13x]=1995$
$\left[x\right]+[3x]+[5x]+[7x]+[11x]+[13x]=1996$
$\left[x\right]+[3x]+[5x]+[7x]+[11x]+[13x]=1997$

denklemlerinden kaç tanesinin çözüm kümesi boş değildir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Her $a,b,c,d$ için$,\ (a \mid b,\ b \mid c\ \text{ve}\ c\mid d) \implies \{a,b,c,d\} \not\subset T$ koşulunu sağlayan ve pozitif tam sayılardan oluşan $n$ elemanlı her $T$ kümesi$,$ hiçbiri bir diğerini bölmeyen en az $6$ tam sayı içeriyorsa $n$ tam sayısının alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 18  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 17  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Katsayıları tam sayılar olan ve $5$ farklı tam sayıda $8$ değerini alan bir polinomun en çok kaç tam sayı kökü olabilir?

$\textbf{a)}\ 0$ 
$\textbf{b)}\ 8$ 
$\textbf{c)}\ 5$ 
$\textbf{d)}\ \text{Bu koşulları sağlayan polinom yoktur.}$
$\textbf{e)}\ \text{Bu koşulları sağlayan polinomların tam sayı köklerinin sayıları üstten sınırlı değildir.}$

$a,b,c,r,s,t \in \{0,1,2,3,4\}$ olmak üzere, $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ polinomlarından kaç tanesi, $f(x) \equiv (x+r)(x^2+sx+t) \pmod{5}$ şeklinde bir denkliği sağlamaz?

$\textbf{a)}\ 30  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 20  \qquad\textbf{d)}\ 40  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$