Güzel bir soru Eray, teşekkürler. Cevap vereyim buna.
Yazı içinde "özensiz" diye tabir ettiğim bir tarz vardır. Bu "titiz olmayan (İng: un-rigorous)" kelimeleriyle de ifade edilebiliyor. Bazen biz de farkında olmadan "özensiz" olabildiğimiz gibi matematik tarihinde de büyük matematikçilerin "özensiz-titiz olmayan" ispatlar sundukları görülmüştür. Onların durumu genelde biraz daha farklı oluyor. Dönemleri itibariyle henüz keşfedilmemiş matematiksel kavramlar gerekli olduğu için o tür özensizlikler, sonraki dönemlerde gelen matematikçiler tarafından fark edilip düzeltilip onarılmıştır. Hatalı çözüm yapılması durumunu nazikçe ifade etmek için bu açıklamayı yazma gereği duydum. (Aksi halde bir probleme emek verip vakit harcamış matematik severlere direkt olarak "çözümünüz özensiz" demek kırıcı ve soğutucu olabilir.) Bu yazı aracılığıyla açıklayacağım özensizlik kaynaklı hata ise çok daha temel düzeydedir.
"$p^2 + 8$ sayısının asal olmasını sağlayan kaç farklı $p$ asal sayısı vardır?"
şeklindeki bir soru (Tübitak lise 1. aşamalardan birinde bu veya benzeri vardı sanırım) çözülürken özensiz bulduğum için beni rahatsız eden çözüm yöntemi şu şekildedir:
"$p=3$ için $17$ elde edilir. $p\neq 3$ için Fermat teoreminden $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$ olup $p^2 + 8 \equiv 1 + 2 \equiv 0\pmod{3}$ olur. $3\mid p^2 + 8$ olduğundan bileşik sayıdır. Bu durumda başka $p$ çözümü yoktur."
Halbuki $3$'e tam bölündüğü halde asal olan sayı vardır! Bu da $3$'ün kendisidir. Yani $p^2 + 8 = 3$ denklemi de incelendikten sonra $p^2 + 8$ asal sayı olamaz demek doğru olur. Bu arada "$p^2 + 8>3$ ve $3\mid p^2 + 8$ olduğundan dolayı $p^2 + 8$ bileşik sayıdır." denilirse bu çözümü de kabul edeceğim. Bu açıklama eksikliği, bu soru üzerinde zararsız gibi duruyor. Diğer taraftan 2011 Tübitak lise 1. Aşama sınavında sorulmuş olan
"Kaç $p$ asal sayısı için, $|p^4 - 86|$ sayısı da asaldır?"
sorusuna baktığımda, bahsettiğim açıklama eksikliği biraz daha zarar verebilecek gibi duruyor. Muhtemel bir hatalı çözüm girişimi şöyle olabilir: $p\neq 5$ iken $p^4 \equiv 1 \pmod{5}$ tir. Bu sebeple $|p^4 - 86| \equiv 0 \pmod{5} $ olup $5\mid p^4 - 86$'dır ve $|p^4 - 86|$ asal değildir. $p=5$ için de $5^4 - 86 = 539 = 7^2 \cdot 11$ olup asal değildir. Demek ki istenen özellikte $p$ asalı yoktur." Cevap seçeneklerinde de $0$ vardır. Yine de $p=2$ ve $p=3$ asallarını deneyenler bu zarardan kendini koruyabiliyordu. $p=3$ için $|81-86|=5$ olup asaldır. Bunları yaptıktan sonra "$p\geq 7$ için $p^4 - 86>5$ ve üstelik $5\mid p^4 - 86$ olduğundan $p^4 - 86$ bileşik sayıdır. $p=3$'ten başka çözüm yoktur." diye eklenirse bu çözümü de doğru olarak onaylarım.
Özensiz bir çözümle 2011'e ait bu problemden de sıyrılmak mümkün görünüyor. Çünkü çözüm sayısı azdır. Bu sebeple 2011 yılında şöyle bir problem yazdım ve sonraki yıllarda bir çok yerde sundum:
$p$ ve $p^2 - 24p + 122$ asal sayılarAtakan'ın çözümünde de olduğu gibi, çok sık biçimde bu sorunun tek çözümünün $p=3$ yanıtını aldım. Bu ikinci dereceden ifadeyi nasıl oluşturduğum (belirsiz katsayılar vs) ile ilgili açıklamalar bağlantıda mevcuttur. Bu problemin üç farklı asal sayı çözümü vardır. Bahsettiğim özensizliğe sahip olunması halinde, bu soru bu hatayı cezalandırıyor. Sonrasında 2011 yılının sorusu gibi 4. dereceden bir problem yazmayı amaçladım. Yine belirsiz katsayılar vs kullanarak
$p$ ve $p^4 - 5pn^2 + p^2 +5m + 4$ asal sayılarisimli soruyu oluşturdum. Bu problemde yüksek dereceli ve birden fazla çözüme sahip soru yazmak için yöntem geliştirme çabalarımı görebiliyoruz.
Nihayetinde belirsiz katsayılar ile polinom üretme beni çok yorduğu için yöntemi geliştirme zorunluluğu hissettim: $f(p) = (p-p_1)(p-p_2)(p-p_3)(p-p_4) + 5$ türünde bir polinomda $p_i$'ler asal sayılar seçilirse kolayca $4$ çözüm üretebiliyoruz. Bunlar $p=p_i$ asallarıdır. Fakat böyle analiz-cebir sorusu gibi duruyor. Ayrıca çözümlerin sonlu sayıda olduğunu da henüz garanti etmedik. Soruya bir şey daha katarsak sayı teorisi etkisini artırmış olacağız. Bu da önceki tüm problemlerde görülen Fermat teoremi'dir. $p\neq 5$ iken $p^4 \equiv 1 \pmod{5}$ tir. $p_i \equiv i \pmod{5}$ asalları seçersem faydalı olacaktır. Fermat teoremini kullanarak parantezleri açarsak $(p-p_1)(p-p_2)(p-p_3)(p-p_4) \equiv (p-1)(p-2)(p-3)(p-4)\equiv 0\pmod{5}$ olacaktır. Ya da daha basitçe (geo'nun çözümünde de belirttiği gibi) $p-p_i$ sayılarından tam olarak biri $5$'e tam bölünecektir. Sonuçta $5\nmid p$ iken $f(p) \equiv 0 \pmod{5}$ veya $5\mid f(p)$ dir. $5$'e bölünen bir asal sayı yalnızca $5$'tir. $f(p) = 5$ denkleminden $p=p_1,p_2,p_3,p_4$ çözümleri elde edilir. Eğer seçtiğimiz $p_i$ değerleri için $f(5)$ de bir asal sayı olursa harika olur. Bunu da oluşturduğumuz $f(p)$ polinomunda kontrol etmeliyiz:
$p_1 =2, p_2 = 3, p_3 = 11, p_4 = 19$ asalları $\mod 5$'te farklı kalanlar verir ve
$f(p) = (p-2)(p-3)(p-11)(p-19)+5$ polinomunda $f(5)=3\cdot 2\cdot 6\cdot 14 + 5 = 509$ olup bir asal sayıdır. $(p-2)(p-3)(p-11)(p-19)+5 = p^4 -35p^3 + 365p^2 - 1225p + 1259$ için Mathematics Magazine Kasım - 2021 probleminin kurgusunu tamamlamış oluyoruz.
Farklı bir soru üretmek istersek,
$p_1 =7, p_2 = 3, p_3 = 11, p_4 = 19$ asalları $\mod 5$'te farklı kalanlar verir ve $f(p) = (p-7)(p-3)(p-11)(p-19) + 5$ polinomu oluşturulur. Mutlak değer de ekleyerek şunu yazabiliriz:
Soru [Lokman Gökçe]: Hangi $p$ asal sayıları için $|p^4 - 40 p^3 + 530 p^2 - 2720 p + 4394|$ sayısı da bir asal sayıdır?
Çözüm: $f(p)=p^4 - 40 p^3 + 530 p^2 - 2720 p + 4394$ diyelim. $p\neq 5$ için Fermat teoreminden $p^4 \equiv 1 \pmod{5}$ olup $f(p)\equiv 0 \pmod{5}$ elde edilir. $p^4 - 40 p^3 + 530 p^2 - 2720 p + 4394 = 5$ çözülürse $p\in \{ 3, 7, 11, 19\}$ elde edilir. $p^4 - 40 p^3 + 530 p^2 - 2720 p + 4394 = -5$ denklemi incelenirse tam sayı çözüm oluşmadığı görülebilir. Ayrıca $f(5)=-331$ olup $|-331|=331$ asal sayı olur. Böylece tüm çözümler $ \{ 3, 5, 7, 11, 19\}$ olarak elde edilir.
Not: 4. dereceden $f(p)$ polinomları özelinde konuşacak olursak; henüz $f(p)=5$ denkleminden tam dört çözüm gelirken, hem de $f(p)=-5$ denkleminden çözüm(ler) gelen, üstelik $|f(5)|$ değeri de asal olan bir örnek kurgulayamadım. Örnek bulan olursa, (ya da bunun mümkün olmayacağını kanıtlayan olursa) paylaşabilir, memnun oluruz.
