4n+1 asal {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

$n$ bir pozitif tamsayı olmak üzere $4n+1$ asal sayı ise $\left((2n)!\right)^2+1 $ sayısının $4n+1$ ile tam bölündüğünü ispatlayınız.

[Arman]

Wilson teoreminden $(4n)!\equiv-1\pmod{4n+1}$

$(4n)!\equiv(1).(2)...(2n).(2n+1).(2n+2)...4n$


$\equiv\underbrace{(1).(2)...(2n)}_{(2n)!}. \underbrace{(-2n).(-(2n-1))...(-1)}_{(2n)!}$

$\equiv((2n)!)^2\equiv-1\pmod{4n+1}\Longrightarrow ((2n)!)^2+1\equiv0\pmod{4n+1}$

[Lokman Gökçe]

Tebrik ediyorum Arman. Bu problemin sayılar teorisinde kare kalanlar ile ilgili önemli bir sonucu vardır. Onu da açıklamak için problemi sundum.

Teorem 1: Eğer $p=4k+1$ formunda bir asal sayı ise $-1$, $\pmod{p}$ de bir kare kalandır. Yani $x^2 \equiv -1 \pmod{p}$ denkliğini sağlayan $x$ tamsayısı vardır.

İspat: Yukarıdaki çözüme göre $x=(2k)!$ seçmek yeterlidir.

Bir başka teorem de şöyledir:

Teorem 2: Eğer $p=4k+3$ formunda bir asal sayı ise $-1$, $\pmod{p}$ de bir kare kalan değildir. Yani $x^2 \equiv -1 \pmod{p}$ denkliğini sağlayan $x$ tamsayısı yoktur.

İspat: $x^2 \equiv -1 \pmod{4k+3}$ olduğunu varsayalım. $x \not\equiv 0 \pmod{4k+3}$ olduğu açıktır. Yani $x$ ile $p=4k+3$ aralarında asaldır. Şimdi bu $x^2 \equiv -1 \pmod{4k+3}$ denkliğinin $2k$ inci kuvvetini alırsak $x^{4k} \equiv 1 \pmod{4k+3}$ olur. Fakat Fermat teoremine göre de $x^{4k+2} \equiv 1 \pmod{4k+3}$ tür. Buradan Yani $x^2 \equiv 1 \pmod{4k+3}$  olup $1 \equiv -1 \pmod{4k+3}$ çelişkisi bulunur. Yani $p=4k+3$ biçiminde asal iken $x^2 \equiv -1 \pmod{p}$ denkliğini sağlayan $x$ tamsayısı yoktur.