$m,n$ tamsayılar olmak üzere $m^2+23n=mn+2n^2+58$ eşitliğini sağlayan

[MATSEVER 27]

$m,n$ tamsayılar olmak üzere  $m^2+23n=mn+2n^2+58$   eşitliğini sağlayan kaç $(m,n)$ ikilisi vardır?

$\textbf{a)}$ $0$  $\qquad$  $\textbf{b)}$ $1$  $\qquad$  $\textbf{c)}$ $2$  $\qquad$  $\textbf{d)}$ $3$  $\qquad$  $\textbf{e)}$ $\text{Hiçbiri}$

[ArtOfMathSolving]

Wolfram Üstad $2$ diyor doğru mudur?

[MATSEVER 27]

Doğrudur. Ama gerçek bir çözümü tercih ederiz. $n=6$ çıkıyor. $m=2,4$ geliyor.

[ArtOfMathSolving]

Evde değilim , gidince çözebilirsem yazayım.

[Buğra Doğan]

n sabit sayı ve m bilinmeyenmiş gibi yada m sabit sayı, n bilinmeyenmiş gibi düşünüp çözmeye çalıştım. Örneğin bilinmeyenimiz m olsun;
\[
m^2  - mn - 2n^2  + 23n - 58 = 0
\]
Diskriminant kullanarak denklemin m köklerini bulmaya çalışalım;
\[
m^2  - mn - 2n^2  + 23n - 58 = 0
\]
\[
\Delta  = b^2  - 4ac = n^2  - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2n^2  + 23n - 58)
\]
\[
\Delta  = 9n^2  - 92n + 232
\]
Disktriminantın özelliğine göre m'in kökleri;
\[
\frac{{n \pm \sqrt {9n^2  - 92n + 232} }}
{2}
\]
m ve n tamsayı olduğundan dolayı kökün içi hem 0 dan büyük olmak zorundadır hemde bir sayının karesi şeklinde yazılabilmelidir ki kökten pozitif tam sayı şeklinde çıkabilsin. Mesela a² olsun;
\[
9n^2  - 92n + 232 = a^2
\]
Bu denklemde hem a hemde n tamsayı olmalıdır. Bu denkleminde kendi içerisinde köklerine bakmak için diskriminantını bulacak olursak;
\[
9n^2  - 92n + 232 - a^2  = 0
\]
\[
\,\Delta  = \frac{{92 \pm \sqrt {112 + 36a^2 } }}
{{18}}
\]
Diskriminantın tam sayı olabilmesi için buradaki köklü ifadeninde dışarı pozitif tam sayı olarak çıkabilmesi gerekir;
\[
112 + 36a^2  = r^2
\]
\[
(r - 6a)(r + 6a) = 112
\]
Bu denklemle gerekli işlemler sonrasında kök içerisinin tam kare olmasını sağlayan sağlayan a değerlerinden sadece (-2,2)'nin aynı zamanda diskriminantında tam sayı değeri almasını sağlayan değerler olduğu görülür. Tekrar gerekli hesaplamalar yapıldığında ise köklü ifadenin dışarı 16 çıktığı görülür ve delta yani n'nin alabileceği değerler; (6 ve 78/18) olarak bulunur. n tam sayı olduğundan ötürü burada 6 dikkate alınır. n=6 ise denklemimiz;
\[
m^2  - 6m + 8 = 0
\]
\[
(m - 4)(m - 2) = 0
\]
\[
m = \left\{ {2,4} \right\}
\]
\[
n = \left\{ 6 \right\}\,\,\,m = \left\{ {2,4} \right\}\, \to \,(m,n) = \left\{ {(2,6),(4,6)} \right\}
\]
Cevap: C
(Çözümüm hatalıysa veya hatalar varsa afedersiniz.)