$3p^4+5q^4+15=13p^2q^2$ eşitliği sağlanacak biçimde bütün $(p,q)$ asal sayı

[MATSEVER 27]

$$3p^4+5q^4+15=13p^2q^2$$
eşitliği sağlanacak biçimde bütün $(p,q)$ asal sayı ikililerini belirleyiniz.

[ArtOfMathSolving]

 $p=2$ olsun. Denklemi düzenleyelim.

$63=q^2(52-5q^2) \Rightarrow q\in {(3,7)}$ olmalı. Fakat $q=7$ için $52-5q^2$ negatif olacağından bu ihtimal mümkün değildir, $q=3$ ise aşikar çözümdür.

Şimdi de $q=2$ olsun. Düzenlersek, $ 95=p^2(52-3p^2) \Rightarrow p \in {(19,5)}$ olmalı. Fakat her iki değer için de $52-3p^2$ negatif olacağından mümkün değildir.

$\pmod 3$ te inceleyelim. $2q^2\equiv p^2 \pmod3$ olur. $p^2\equiv 0,1 \pmod 3$ olduğundan , $q^2 \equiv 0 \pmod 3 $ olmalıdır. ($q=3$)

O halde denklemin tek çözümü $(2,3)$ tür.

[Eray]

Farz edelim ki $ p$ ve $q$ $2$ den farklı iki asal sayı olsun. Denklemin sağ tarafı tek olduğundan , $3p^4+5q^4$ çift olmalı fakat kabulümüzden dolayı bu ifade tektir. Çelişki !

$p$ ve $q$ $2$ den farklı asal sayılarsa $3p^4$ ve $5q^4$ sayılarının her ikisi de tek olduğundan $3p^4+5q^4$ sayısı tek değil, çift olur.