$14^x-3^y=2015$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ {çözüldü}

[MATSEVER 27]

$14^x-3^y=2015$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ doğal sayı ikililerini belirleyiniz.

[Lokman Gökçe]

$y=0$ ya da $y=1$ için denklemin sağlanmadığını görmek kolaydır. $y\geq 2$ olsun. Verilen denklemi $\mod{9}$ de incelersek $5^x \equiv -1\pmod{9}$ olur. Buna göre $x=3k$ formundadır.

$2015=5\cdot 13 \cdot 31 $ dir. Şimdi de denklemi $\mod{13}$ te incelersek $3^y \equiv 1\pmod{13}$ olur. Buna göre $y=3t$ formundadır.

Denklemi $(14^{k})^3 - (3^{t})^3=2015$ biçiminde yazıp iki küp farkından çarpanlara ayırırsak

$(14^{k} - 3^{t}) \left( 14^{2k}+ 14^k 3^t + 3^{2t}\right) = 2015$ olur. Bu eşitlikte $k$ nın çok büyük değerler alamayacağı açıktır.  Zira $14^{2k} < 2015$ olmalıdır. O halde yalnızca $k=1$ denenir ve $14^{3}-3^{3t}=2015$ denkleminden $3^{3t}=729$ olup $t=2$ bulunur.

Böylece denklemin tek doğal sayı çözümü $(x,y)=(3,6)$ olarak elde edilir.

[Lokman Gökçe]

Aslında kağıda çözerken $y=0$, $y=1$ değerlerini verip çözüm gelmediğini görmüştüm. Foruma yazarken bu adımı atlamışım. Hataları bildirdiğiniz için teşekkürler, İyi çalışmalar.