$(x^3+7y)(y^3+7x)=2^z$ olmasını sağlayan tüm $(x,y,z)$ doğal sayıları

[MATSEVER 27]

$(x^3+7y)(y^3+7x)=2^z$ olmasını sağlayan tüm $(x,y,z)$ doğal sayı üçlülerini belirleyiniz.

[taftazani44]

i) x=y için x³+7x=2^n ise x(x²+7)=2^n
Bu durumda x in tek ve çift olma durumları incelenirse,eşitliğin bir tarafı 2 nin kuvveti iken diğer taraf
Bir tek sayı ile bir çift sayının çarpımı olur.Tek sayının 1 olması dışında eşitlik olmaz.(1,1) bir çözüm olur.
ii) x≠y ise x³+7y=y³+7x ise (x-y)(x²+xy+y²)=7(x-y)
x²+xy+y²=7 olur.Bu durumda 2 den büyük doğal sayılar için >7 olacağından {0,1,2} nin ikili permütasyon ları denediğimde 2 nin kuvveti gelmez.
Tek çözüm (1,1) olur.

[MATSEVER 27]

Ancak $x^3+7y$ ve $y^3+7x$ sayıları $2$ nin aynı kuvvetine eşit olmak zorunda değildir.

[taftazani44]

 

[Abdullah demircan]

Önce x ve y'nin tek olduğunu varsayalım. $x^{3}+7y$ ve $y^{3}+7x$ 2'nin kuvvetleri olduğu için biri diğerini bölecektir.
$x^{3}+7y|y^3+7x$
$x^{3}+7y|x^{3}+y^{3}+7(x+y)$
$X^{3}+7y|(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}+7)$
$x^{3}+7y>4$ olduğu açıktır. O zaman bu sayı dörde bölünmeli. $x=y=1(mod4)$ veya 3 iken bu sağlanır. Bu durumda $x+y=2(mod4)$ olur. O halde:
$x^{3}+7y|2x^{2}-2xy+2y^{2}+14$
$x^{3}+7y|2x^{3}-2x^{2}y+2xy^{2}+14x$
$x^{3}+7y|14x-14y+2xy(y-x)$$x^{3}+7y|2(x-y)(xy-7)$
$xy-7=2(mod4)$ olduğundan,
$x^{3}+7y|4(x-y)$
$x^{3}+7y|x-y$
$x^{3}+7y>x-y$ olduğundan $x=y$ olmalıdır.
$x^{3}+7x=2^{a}$
$x(x^{2}+7)=2^{a}$
x tek olduğundan 1'e esit olmalıdır. Yani $x=y=1$
şimdi x ve y'nin çift olamayacağını kanitlayacagiz. $x=2^{a}b,y=2^{c}d$ ve b ile d tek olsun.
$2^{3a}.b^{3}+7d.2^{c}=2^{k}$
3a ile c birbirine eşit değil ise,(3a>c olsun)
$2^{c}(2^{3a-c}.b^{3}+7d)=2^{k}$
$2^{3a-c}.b^{3}+7d=1$ olmalıdır fakat bu mümkün değildir. O zaman 3a=c olur fakat diğer çarpan için bu işlemleri uygulayacağımiz zaman da 3c=a olmasi gerektiğini göreceğiz ki bu a=b=0 demektir.