$n$ ve $n^3+2n^2+2n+4$ tam kareler {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

$n$ ve $n^3+2n^2+2n+4$ birer tam kare ise $n$ tam sayısı nedir? (Hanoi Open Mathematical Olympiad 2010 Senior Bölümü Pr-8.)

[çılgın]

Tek çözüm $n=1$ dir.

$n$ ve $n^3+2n^2+2n+4$ tam kare ise $n(n^3+2n^2+2n+4)= n^4+2n^3+2n^2+4n$ de tam karedir. $n^4+2n^3+2n^2+4n>n^4+2n^3+n^2=(n^2+n)^2$ olur, çünkü $n$ tamkare olduğundan $n>0$ dır ve $n^2+4n>0$ dır. Diğer yandan $(n^2+n+2)^2=n^4+2n^3+5n^2+4n+4>n^4+2n^3+2n^2+4n$ dir, çünkü $3n^2+4>0$ dır. dolayısıyla $n^4+2n^3+2n^2+4n=(n^2+n+1)^2=n^4+2n^3+3n^2+2n+1$, eşitliği düzenlersek $n^2-2n+1=0$ olması gerektiğini buluruz, yani $(n-1)^2=0$ olması gerekir ki tek çözümü $n=1$ dir. $n=1$ iken ilk ifade $1$, ikinci ifade $9$ olur.

Not: $0$ sayısı ifadeleri bir kareye eşitlese de Vikipedi'deki tanımda tam kareyi pozitif bir tam sayının karesi olarak belirtildiğinden sayma
dım.

[Eray]

n=0

$0$ sayısı tamkare olarak kabul edilmemektedir. Bkz: https://tr.wikipedia.org/wiki/Tam_kare