Üçgen içerisinde P noktası, Model 1.2

[geo]

$AC=BC$ olan $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $\angle BAP = 30^\circ$ ve $\angle PAC = 2 \angle PBC$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $\angle PCA = 3\angle PCB$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$C$ den $AB$ ye indirilen dikme $[AP]$ yi $E$ de kessin. $AE=EB$ ve $\angle EAC = \angle EBC = 2t$ olacaktır.
Basit açı hesaplarıyla $\angle BEP = \angle PEC = 60^\circ$ elde edilir. Aynı zamanda $\angle EBP = \angle PBC = t$ olduğu için $\triangle BEC$ de $P$ iç merkezdir. Bu durumda $\angle PCB = \angle PCE = 30^\circ - t$ ve $\angle PCA = 90^\circ - 3t$, yani $\angle PCA = 3\angle PCB$ dir.

Not:
Bu sorunun Ceva teoreminin trigonometrik yer değiştirme özelliğine göre modellenmiş hali burada Model 1.2 olarak verilmiş.

[geo]

$x = 30^\circ - t$ dönüşümü yapıp Ceva Teoreminin Trigonometrik Halini uygulayalım.
$\angle PCB = y$ olsun.
$$\dfrac{\sin 30^\circ}{\sin (60^\circ - 2x)}\cdot\dfrac{\sin (4x-y)}{\sin y}\cdot \dfrac{\sin (30^\circ - x)}{\sin (60^\circ -x)} = 1$$
$\begin{array}{lcl}
\dfrac {\sin (4x-y)}{\sin y} &=& \dfrac{\sin (60^\circ - 2x) \cdot \sin (60^\circ -x)}{\sin 30^\circ \cdot \sin (30^\circ -x )}\\
&=& \dfrac{2\sin (30^\circ - x) \cdot \cos (30^\circ - x) \cdot \sin (60^\circ -x)}{\sin 30^\circ \cdot \sin (30^\circ -x )}\\
&=& 4 \sin(60^\circ - x)\cos (30^\circ - x)\\
&=& 2(\sin (90^\circ - 2x) + \sin 30^\circ)\\
&=& 2(\cos 2x + 1/2) \\
&=& 2(1-2\sin^2 x) + 1 \\
&=& 3 - 4\sin^2 x \\
&=& \dfrac{\sin 3x}{\sin x} \\
&=& \dfrac{\sin (4x-x)}{\sin x} \\
&\Rightarrow& y = x.
\end{array}$

$\angle PCB = x = 30^\circ - t$ ve $\angle PCA = 3x = 90^\circ - 3t$ dir.

[geo]

$APB$ üçgeninin çevrel merkezi $O$ olsun. $OACB$ bir deltoittir.
$\angle BOP =\angle OBP = 60^\circ$
$\angle AOC = \angle BOC = \angle OBC = 60^\circ + t$.
$OC=BC$ ve $OP=BP$ olduğu için
$\angle OCP= \angle BCP = 30^\circ - t$