Gönderen Konu: model üçgen - P noktası  (Okunma sayısı 3668 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1707
  • Karma: +8/-0
model üçgen - P noktası
« : Temmuz 06, 2009, 01:14:14 ös »
$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde alınan $P$ noktası için $\angle BAP = a_1, \angle ACP = a_2, \angle CBP = a_3$, $ \angle CAP = b_1, \angle BCP = b_2, \angle ABP = b_3$ olmak üzere; Ceva Teoreminin Trigonometrik Hali gereğince,
$$\dfrac{\sin a_1 }{\sin b_1 } \cdot \dfrac{\sin a_2}{\sin b_2} \cdot \dfrac{\sin a_3}{\sin b_3} = 1$$
Ek olarak,
  • yukarıdaki denklemde, $a_i$ lerden ikisi ve $b_j$ lerden ikisi verildiğinde diğer iki açı bulunabiliyor.
  • bir gruptan $3$, diğer gruptan $1$ açı verildiğinde ise iki cevap çıkıyor. Örneğin, $a_1, a_2, a_3, b_1$ değerleri verildi. Bu durumda cevap ya $(b_2,b_3)$ ya da $(b_3, b_2)$. Tabii, $b_2=b_3$ ise tek cevap çıkmış oluyor.

$a_i$ lerin kendi aralarında ve $b_j$ lerin kendi aralarında yer değiştirmeleri sonucu, aynı trigonometrik eşitliği elde edeceğimiz gayet açık. Normalde bu şekilde her yer değiştirme ile farklı bir üçgen elde ediyoruz. Ama bunların trigonometrik denklemleri hep aynı oluyor.
Aşağıdaki şekilde, kendi aralarında yerleri değiştirilebilen açılar aynı renkte gösterilmiştir.


Bu durumu multiset (ing. bag, çanta, torba) kavramı ile ifade etmeye çalışalım. Multiset, küme kavramının aynı elemanın birden fazla kez yer alabilecek şekilde genişletilmesidir.

$[\![ A,B ]\!] = [\![ [\![ a_1,a_2,a_3 ]\!], [\![ b_1,b_2,b_3]\!]]\!]$ ifadesi ile bir model soru belirtelim. Buna göre bir model soru, üçer elemanlı iki multisetten oluşan bir multisettir.

Buna göre açılar üçgen şartlarını sağlamak kaydıyla (örneğin $t$ ve $30^\circ-t$ bir arada yer alıyorsa $0^\circ < t < 30^\circ$ demektir),

Model 1: $[\![ [\![ t, 30^\circ, 90^\circ - 3t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - t, 30^\circ + t]\!]]\!]$

Model 2: $[\![ [\![ t, 30^\circ - 2t, 90^\circ + t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - 2t, 30^\circ ]\!]]\!]$

Model 3: $[\![ [\![ t, 60^\circ - 4t, 60^\circ + t ]\!], [\![ 3t, 30^\circ - 2t, 30^\circ + t ]\!]]\!]$

Model 4: $[\![ [\![ t, 30^\circ - t, 90^\circ - t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - t, 30^\circ ]\!]]\!]$

Model 5: $[\![ [\![ t, r, 90^\circ -r-t ]\!], [\![ t, r, 90^\circ - r- t ]\!]]\!]$

model soruları, benim bildiğim model sorular.

Örneğin, $a_1 = 30^\circ - t$, $a_2 = x$, $a_3 = 2t$, $b_1 = t$, $b_2 = 90^\circ - 3t$, $b_3 = y$ verildiğinde, $[\![ [\![ 30^\circ - t, 2t, x ]\!], [\![ t, 90^\circ - 3t, y]\!]]\!]$ multiset'ini elde ederiz. Multiset gösterimi ve dereceler biraz göz bozduğu için soruyu $(30-t,2t):(t, 90-3t) \to (x,y)$ şeklinde ifade edelim.
Bu soru ile Model 1: $[\![ [\![ t, 30^\circ, 90^\circ - 3t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - t, 30^\circ + t]\!]]\!]$ multiset'inin üçer elemanlı multiset elemanlarının ikişer elemanı ortak olduğu için bu soru Model 1 e aittir. Dolayısıyla bu sorunun çözümünü $(30-t,2t):(t, 90-3t) \to (30+t,30)$ şeklinde ifade edebiliriz. Kümelerin sırası değiştiğinde çözümün de sırası değişecektir. Yani $(30-t,2t):(t, 90-3t) \to (30+t,30)$ ile $(t, 90-3t):(30-t,2t) \to (30,30+t)$ aynı soruyu göstermektedir.

Bu soru gösterimini kullanarak yukarıdaki ilk dört model için dokuzar model soru elde ederiz.



1. $[\![ A,B ]\!] = [\![ [\![ t, 30^\circ, 90^\circ - 3t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - t, 30^\circ + t]\!]]\!]$ için

$\begin{array}{llclcl}
1.1 & (t,30) &:& (2t, 30-t) &\to& (90-3t,30+t) \\
1.2 & (t,30) &:& (2t, 30+t) &\to& (90-3t,30-t) \\
1.3 & (t,30) &:& (30-t, 30+t) &\to& (90-3t,2t) \\
1.4 & (t,90-3t) &:& (2t, 30-t) &\to& (30,30+t) \\
1.5 & (t,90-3t) &:& (2t, 30+t) &\to& (30,30-t) \\
1.6 & (t,90-3t) &:& (30-t, 30+t) &\to& (30,2t) \\
1.7 & (30,90-3t) &:& (2t, 30-t) &\to& (t,30+t) \\
1.8 & (30,90-3t) &:& (2t, 30+t) &\to& (t,30-t) \\
1.9 & (30,90-3t) &:& (30-t, 30+t) &\to& (t,2t) \\
\end{array}
$




2. $[\![ A,B ]\!] = [\![ [\![ t, 30^\circ - 2t, 90^\circ + t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - 2t, 30^\circ]\!]]\!]$ için

$\begin{array}{llclcl}
2.1 & (t,30-2t) &:& (2t, 30-2t) &\to& (90+t,30) \\
2.2 & (t,30-2t) &:& (2t, 30) &\to& (90+t,30-2t) \\
2.3 & (t,30-2t) &:& (30-2t, 30) &\to& (90+t,2t) \\
2.4 & (t,90+t) &:& (2t, 30-2t) &\to& (30-2t,30) \\
2.5 & (t,90+t) &:& (2t, 30) &\to& (30-2t,30-2t) \\
2.6 & (t,90+t) &:& (30-2t, 30) &\to& (30-2t,2t) \\
2.7 & (30-2t,90+t) &:& (2t, 30-2t) &\to& (t,30) \\
2.8 & (30-2t,90+t) &:& (2t, 30) &\to& (t,30-2t) \\
2.9 & (30-2t,90+t) &:& (30-2t, 30) &\to& (t,2t) \\
\end{array}
$




3. $[\![ A,B ]\!] = [\![ [\![ t, 60^\circ - 4t, 60^\circ + t ]\!], [\![ 3t, 30^\circ - 2t, 30^\circ + t]\!]]\!]$ için

$\begin{array}{llclcl}
3.1 & (t,60-4t) &:& (3t, 30-2t) &\to& (60+t,30+t) \\
3.2 & (t,60-4t) &:& (3t, 30+t) &\to& (60+t,30-2t) \\
3.3 & (t,60-4t) &:& (30-2t, 30+t) &\to& (60+t,3t) \\
3.4 & (t,60+t) &:& (3t, 30-2t) &\to& (60-4t,30+t) \\
3.5 & (t,60+t) &:& (3t, 30+t) &\to& (60-4t,30-2t) \\
3.6 & (t,60+t) &:& (30-2t, 30+t) &\to& (60-4t,3t) \\
3.7 & (60-4t,60+t) &:& (3t, 30-2t) &\to& (t,30+t) \\
3.8 & (60-4t,60+t) &:& (3t, 30+t) &\to& (t,30-2t) \\
3.9 & (60-4t,60+t) &:& (30-2t, 30+t) &\to& (t,3t) \\
\end{array}$




4. $[\![ A,B ]\!] = [\![ [\![ t, 30^\circ - t, 90^\circ - t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - t, 30^\circ]\!]]\!]$ için

$\begin{array}{llclcl}
4.1 & (t,30-t) &:& (2t, 30-t) &\to& (90-t,30) \\
4.2 & (t,30-t) &:& (2t, 30) &\to& (90-t,30-t) \\
4.3 & (t,30-t) &:& (30-t,30) &\to& (90-t,2t) \\
4.4 & (t,90-t) &:& (2t, 30-t) &\to& (30-t,30) \\
4.5 & (t,90-t) &:& (2t, 30) &\to& (30-t,30-t) \\
4.6 & (t,90-t) &:& (30-t,30) &\to& (30-t,2t) \\
4.7 & (30-t,90-t) &:& (2t, 30-t) &\to& (t,30) \\
4.8 & (30-t,90-t) &:& (2t, 30) &\to& (t,30-t) \\
4.9 & (30-t,90-t) &:& (30-t,30) &\to& (t,2t) \\
\end{array}$




5. $[\![ A,B ]\!] = [\![ [\![ t, r, 90^\circ -r- t ]\!], [\![ t, r, 90^\circ-r-t]\!]]\!]$ için

$\begin{array}{llclcl}
5.1 & (t,r) &:& (t, r) &\to& (90-r-t,90-r-t) \\
5.2 & (t,r) &:& (t, 90-r-t) &\to& (90-r-t,r) \\
\end{array}$


Böylelikle elimizde $4\times 9+2=38$ farklı soru olmuş oldu. Elbette $(t,90-3t,x):(2t, 30-t,y)$ ile $(30-t,2t,x):(t, 90-3t,y)$ farlı üçgenler belirtmekte; ama basit sentetik ya da trigonometrik işlemlerle birbirlerine dönüştürülebilmekte. Bunun için bu iki soru tipi, aynı soru modeli olarak yer aldı. Tüm bunların yanında, model sorularda aynı soruyu ifade edecek başka parametrik açıların da olduğu unutulmamalı. Yani $t = 30 - t$ değiştirmesi ile; $(t, 30, 90-3t):(2t, 30-t, 30+t)$ ile $(30-t, 30, 3t):(60-2t, t, 60-t)$ soru tipleri aynı modeli belirtmekte.

Bir soru tipinin hangi model (modellere) ait olduğunu bulmak için https://output.jsbin.com/eduxif adresindeki programı kullanabilirsiniz.


Şimdi, numaralara referans vererek soruları çözebiliriz diye düşünüyorum. Örneğin meşhur $10,10,10,20$ sorusu $2.1$ deki soru tipine uymaktadır.
$(t,30-2t):(2t, 30-2t) \to (x,y) = (10, 10, x) : (20, 10, y) = (10, 10, x) : (10,20,y)$

Yine bir başka örnek: http://geomania.org/forum/fantezi-geometri-arsivi/model-ucgen-ve-dortgen/ adresinde işlenen soru tipi $1.3$ e örnektir.
« Son Düzenleme: Ekim 06, 2019, 06:40:45 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1707
  • Karma: +8/-0
Ynt: model üçgen - P noktası
« Yanıtla #1 : Ekim 09, 2010, 12:38:21 ös »
Henüz patern bulunamamış soru aileleri: (Derece cinsinden ölçüleri tamsayı ya da 2 katı tamsayı çözümlü soru tipleri )

Aşağıdaki soru aileleri bilgisayar yardımıyla ceva teoreminin trigonometrik hali kullanarak bulunmuştur. Bilgisayar programının yuvarlamalarından dolayı bazıları doğru olmayabilir. Bunların doğruluğunu trigonometrik olarak ispatlamak gerekir.


0.6. (A):(B) = (1.5, 39, 91.5):(9, 15, 24)
0.7. (A):(B) = (1.5, 48, 79.5):(9, 16.5, 25.5)
0.8. (A):(B) = (1.5, 54, 73.5):(10.5, 15, 25.5)
0.9. (A):(B) = (1.5, 63, 64.5):(10.5, 16.5, 24)
0.10. (A):(B) = (2, 34, 94):(10, 16, 24)
0.11. (A):(B) = (2, 46, 62):(8, 12, 50)
0.12. (A):(B) = (3, 18, 93):(6, 12, 48)
0.13. (A):(B) = (3, 19.5, 109.5):(9, 15, 24)
0.14. (A):(B) = (3, 24, 81):(6, 15, 51)
0.15. (A):(B) = (3, 30, 75):(9, 12, 51)
0.16. (A):(B) = (3, 30, 93):(12, 18, 24)
0.17. (A):(B) = (3, 39, 66):(9, 15, 48)
0.18. (A):(B) = (3, 39, 75):(9, 24, 30)
0.19. (A):(B) = (3, 39, 81):(15, 18, 24)
0.20. (A):(B) = (3, 42, 75):(12, 21, 27)
0.21. (A):(B) = (3, 48, 54):(9, 15, 51)
0.22. (A):(B) = (3, 48, 69):(15, 18, 27)
0.23. (A):(B) = (3, 54, 63):(15, 21, 24)
0.24. (A):(B) = (4, 38, 64):(10, 18, 46)
0.25. (A):(B) = (6, 6, 126):(6, 12, 24)
0.26. (A):(B) = (6, 9, 99):(6, 12, 48)
0.27. (A):(B) = (6, 12, 96):(6, 18, 42)
0.28. (A):(B) = (6, 12, 114):(12, 18, 18)
0.29. (A):(B) = (6, 15, 105):(12, 18, 24)
0.30. (A):(B) = (6, 18, 78):(6, 24, 48)
0.31. (A):(B) = (6, 18, 84):(12, 12, 48)
0.32. (A):(B) = (6, 21, 57):(9, 12, 75)
0.33. (A):(B) = (6, 30, 66):(12, 18, 48)
0.34. (A):(B) = (6, 30, 78):(18, 24, 24)
0.35. (A):(B) = (6, 42, 48):(12, 18, 54)
0.36. (A):(B) = (6, 42, 54):(12, 24, 42)
0.37. (A):(B) = (9, 15, 75):(9, 18, 54)
0.38. (A):(B) = (9, 15, 81):(12, 15, 48)
0.39. (A):(B) = (9, 15, 87):(12, 18, 39)
0.40. (A):(B) = (9, 18, 69):(12, 15, 57)
0.41. (A):(B) = (9, 33, 54):(15, 21, 48)
0.42. (A):(B) = (9, 34.5, 43.5):(12, 19.5, 61.5)
0.43. (A):(B) = (10, 26, 70):(22, 24, 28)
0.44. (A):(B) = (12, 12, 84):(12, 18, 42)
0.45. (A):(B) = (12, 24, 66):(18, 30, 30)
0.46. (A):(B) = (12, 30, 48):(18, 18, 54)
0.47. (A):(B) = (12, 33, 39):(15, 18, 63)
0.48. (A):(B) = (15, 24, 57):(18, 27, 39)
0.49. (A):(B) = (15, 28.5, 43.5):(18, 19.5, 55.5)
0.50. (A):(B) = (15, 30, 51):(24, 27, 33)
0.51. (A):(B) = (18, 24, 54):(24, 30, 30)
0.52. (A):(B) = (19.5, 27, 46.5):(24, 28.5, 34.5)
« Son Düzenleme: Kasım 03, 2019, 09:55:21 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1707
  • Karma: +8/-0
Ynt: model üçgen - P noktası
« Yanıtla #2 : Ağustos 18, 2014, 03:12:53 öö »
İlk iletide tanımlanan soru modellerinin irdelendiği iletiler listesi:

Model 1.2
Model 1.3
Model 1.9

Model 2.1
Model 2.2
Model 2.3

Model 3.6

Model 4.1
Model 4.2
Model 4.3
Model 4.5
Model 4.6
Model 4.7

Model 5.1
« Son Düzenleme: Ekim 06, 2019, 12:09:01 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 235
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: model üçgen - P noktası
« Yanıtla #3 : Ağustos 11, 2019, 03:22:07 ös »
$0.48)$  Çözüm :  (Behzat Erbıçakçı-İbrahim Atakan Çiçek) ($24-18$ bilinmeyenleri için yapıldı.)

İlk önce $\mid AC \mid $ kenarı kenarlarından biri olan ve $ABC$  üçgenini kapsayan $WAC$ eşkanar üçgenini çizelim.

$m(\widehat{BWC})$ açısını hesaplamaya çalışalım.  Bunun için öncelikle $W$  noktasından $AC$ ye dik çizelim.  $AC$ yi kesen noktaya $H$  , $AB$  yi kesen noktaya $F$ diyelim.

$WFA$ ile  $WFC$ üçgenleri eş olduğundan dolayı $FAC$ ikizkenardır.  Açıları yerleştirelim.  Şimdi ise $F$ den $BC$  ye dik inelim. Bu

nokta $G$ olsun. $FWC$ üçgenini katlayalım. ve dışarıdaki noktaya $Q$ adı verelim.  $FQC$ $(72-72-36)$ üçgeni olduğunu gördük ve

$WFCQ$ nun deltoid olduğuna dikkat edersek $WFQ$ nun eşkenar üçgen olduğunu anlarız.  $Q$ ile $B$ noktalarını birleştirelim.  Şimdi

ise $FBC$ üçgeninin $(12-84-84)$ üçgeni olduğuna dikkat edersek $\mid FC\mid=\mid BC\mid=\mid QC\mid$ olacağından dolayı $FBQ$

üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $C$ noktasıdır. Buradan ise $m(\widehat{BQF})=6^{\circ}$. Artık Buradan sonra $WFQ$  eşkenar

üçgenine odaklanalım. $m(\widehat{BFQ})=12^{\circ}$ açısının açıortayını çizelim. $BQ$ yu kestiği noktaya $M$ diyelim.  $

m(\widehat{MWQ})=30^{\circ}$  olmalıdır. çünkü $WFM$ ile $WQM$ üçgenleri eştirler. Daha sonra $FBQ$ üçgenini katlayalım.

Katlanan noktaya  $F'$  noktası adını verelim.  $FF'Q$ üçgeninin $(84-84-12)$ üçgeni olduğu görülebilir. Aynı zamanda $\mid

FQ\mid=\mid F'Q\mid =\mid WQ\mid$ olduğundan dolayı  $FF'W$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $Q$ noktasıdır. Dolayısıyla

$$\dfrac{m(\widehat{FF'Q})}{2}=m(\widehat{F'WF})=6^{\circ}$$ olmalıdır.


$$2m(\widehat{FF'W})+m(\widehat{WQF})=360^{\circ}$$ olduğu için $m(\widehat{QF'W})=66^{\circ}$ olur.  Şimdi ise $WM$ ile

$F'Q$ doğrularının kesiştiği noktaya $Z$ diyelim. $[FM$ ışını Trigonometrik Ceva Teoremi'nin karşıtı gereği  $F$,$B$ , $Z$ doğrusaldır.


$m(\widehat{F'ZF})=24^{\circ}$ olduğu görülür. Aynı zamanda $m(\widehat{ZWF})=24^{\circ}$ olduğundan dolayı  $F'$ ,$W$ ,$Z$

ve $B$ çemberseldir. O halde $$m(\widehat{F'WB})=m(\widehat{F'MB})=24$$ olduğundan dolayı  $m(\widehat{FWB})=18^{\circ}$

olarak bulunur. Buradan uzun zamandır uğraştığımız $m(\widehat{BWC})=12^{\circ}$ olarak bulunur.


Şimdi ise $PBC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezini $O$ noktası olarak alalım. $BOC$ üçgenini katlayıp yeni üçgeni $BCO'$ şeklinde

yazarsak ve açıları yazarsak $BWO'$ üçgeni $(156-12-12)$ üçgeni olduğundan $\mid OB\mid =\mid BW \mid$ olduğu bulunur. Açıları

yerleştirirsek $WBO$ üçgeni $(6-168-6)$  üçgeni olur.  Şimdi ise biraz eşlik görerek sorumuza yaptığımız çözümü bitirelim. $WBC$

üçgeni ile $COW$ üçgenleri eştir. $\mid OW\mid = \mid BC \mid $ görülebilir.  $AWO$ ile $ACB$ $(K-A-K)$ gereğince eş olduklarından

dolayı  $\mid AB \mid =\mid AO \mid$ buradan ise $ABO$ ikizkenar üçgenine odaklanırsak $a=24$ olarak bulunur.

 






« Son Düzenleme: Kasım 02, 2019, 07:47:49 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal