Gönderen Konu: model üçgen - P noktası  (Okunma sayısı 4162 defa)

Çevrimiçi geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1763
  • Karma: +8/-0
model üçgen - P noktası
« : Temmuz 06, 2009, 01:14:14 ös »
$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde alınan $P$ noktası için $\angle BAP = a_1, \angle ACP = a_2, \angle CBP = a_3$, $ \angle CAP = b_1, \angle BCP = b_2, \angle ABP = b_3$ olmak üzere; Ceva Teoreminin Trigonometrik Hali gereğince,
$$\dfrac{\sin a_1 }{\sin b_1 } \cdot \dfrac{\sin a_2}{\sin b_2} \cdot \dfrac{\sin a_3}{\sin b_3} = 1$$
Ek olarak,
  • yukarıdaki denklemde, $a_i$ lerden ikisi ve $b_j$ lerden ikisi verildiğinde diğer iki açı bulunabiliyor.
  • bir gruptan $3$, diğer gruptan $1$ açı verildiğinde ise iki cevap çıkıyor. Örneğin, $a_1, a_2, a_3, b_1$ değerleri verildi. Bu durumda cevap ya $(b_2,b_3)$ ya da $(b_3, b_2)$. Tabii, $b_2=b_3$ ise tek cevap çıkmış oluyor.

$a_i$ lerin kendi aralarında ve $b_j$ lerin kendi aralarında yer değiştirmeleri sonucu, aynı trigonometrik eşitliği elde edeceğimiz gayet açık. Normalde bu şekilde her yer değiştirme ile farklı bir üçgen elde ediyoruz. Ama bunların trigonometrik denklemleri hep aynı oluyor.
Aşağıdaki şekilde, kendi aralarında yerleri değiştirilebilen açılar aynı renkte gösterilmiştir.


Bu durumu multiset (ing. bag, çanta, torba) kavramı ile ifade etmeye çalışalım. Multiset, küme kavramının aynı elemanın birden fazla kez yer alabilecek şekilde genişletilmesidir.

$[\![ A,B ]\!] = [\![ [\![ a_1,a_2,a_3 ]\!], [\![ b_1,b_2,b_3]\!]]\!]$ ifadesi ile bir model soru belirtelim. Buna göre bir model soru, üçer elemanlı iki multisetten oluşan bir multisettir.

Buna göre açılar üçgen şartlarını sağlamak kaydıyla (örneğin $t$ ve $30^\circ-t$ bir arada yer alıyorsa $0^\circ < t < 30^\circ$ demektir),

Model 1: $[\![ [\![ t, 30^\circ, 90^\circ - 3t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - t, 30^\circ + t]\!]]\!]$

Model 2: $[\![ [\![ t, 30^\circ - 2t, 90^\circ + t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - 2t, 30^\circ ]\!]]\!]$

Model 3: $[\![ [\![ t, 60^\circ - 4t, 60^\circ + t ]\!], [\![ 3t, 30^\circ - 2t, 30^\circ + t ]\!]]\!]$

Model 4: $[\![ [\![ t, 30^\circ - t, 90^\circ - t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - t, 30^\circ ]\!]]\!]$

Model 5: $[\![ [\![ t, r, 90^\circ -r-t ]\!], [\![ t, r, 90^\circ - r- t ]\!]]\!]$

model soruları, benim bildiğim model sorular.

Örneğin, $a_1 = 30^\circ - t$, $a_2 = x$, $a_3 = 2t$, $b_1 = t$, $b_2 = 90^\circ - 3t$, $b_3 = y$ verildiğinde, $[\![ [\![ 30^\circ - t, 2t, x ]\!], [\![ t, 90^\circ - 3t, y]\!]]\!]$ multiset'ini elde ederiz. Multiset gösterimi ve dereceler biraz göz bozduğu için soruyu $(30-t,2t):(t, 90-3t) \to (x,y)$ şeklinde ifade edelim.
Bu soru ile Model 1: $[\![ [\![ t, 30^\circ, 90^\circ - 3t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - t, 30^\circ + t]\!]]\!]$ multiset'inin üçer elemanlı multiset elemanlarının ikişer elemanı ortak olduğu için bu soru Model 1 e aittir. Dolayısıyla bu sorunun çözümünü $(30-t,2t):(t, 90-3t) \to (30+t,30)$ şeklinde ifade edebiliriz. Kümelerin sırası değiştiğinde çözümün de sırası değişecektir. Yani $(30-t,2t):(t, 90-3t) \to (30+t,30)$ ile $(t, 90-3t):(30-t,2t) \to (30,30+t)$ aynı soruyu göstermektedir.

Bu soru gösterimini kullanarak yukarıdaki ilk dört model için dokuzar model soru elde ederiz.



1. $[\![ A,B ]\!] = [\![ [\![ t, 30^\circ, 90^\circ - 3t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - t, 30^\circ + t]\!]]\!]$ için

$\begin{array}{llclcl}
1.1 & (t,30) &:& (2t, 30-t) &\to& (90-3t,30+t) \\
1.2 & (t,30) &:& (2t, 30+t) &\to& (90-3t,30-t) \\
1.3 & (t,30) &:& (30-t, 30+t) &\to& (90-3t,2t) \\
1.4 & (t,90-3t) &:& (2t, 30-t) &\to& (30,30+t) \\
1.5 & (t,90-3t) &:& (2t, 30+t) &\to& (30,30-t) \\
1.6 & (t,90-3t) &:& (30-t, 30+t) &\to& (30,2t) \\
1.7 & (30,90-3t) &:& (2t, 30-t) &\to& (t,30+t) \\
1.8 & (30,90-3t) &:& (2t, 30+t) &\to& (t,30-t) \\
1.9 & (30,90-3t) &:& (30-t, 30+t) &\to& (t,2t) \\
\end{array}
$




2. $[\![ A,B ]\!] = [\![ [\![ t, 30^\circ - 2t, 90^\circ + t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - 2t, 30^\circ]\!]]\!]$ için

$\begin{array}{llclcl}
2.1 & (t,30-2t) &:& (2t, 30-2t) &\to& (90+t,30) \\
2.2 & (t,30-2t) &:& (2t, 30) &\to& (90+t,30-2t) \\
2.3 & (t,30-2t) &:& (30-2t, 30) &\to& (90+t,2t) \\
2.4 & (t,90+t) &:& (2t, 30-2t) &\to& (30-2t,30) \\
2.5 & (t,90+t) &:& (2t, 30) &\to& (30-2t,30-2t) \\
2.6 & (t,90+t) &:& (30-2t, 30) &\to& (30-2t,2t) \\
2.7 & (30-2t,90+t) &:& (2t, 30-2t) &\to& (t,30) \\
2.8 & (30-2t,90+t) &:& (2t, 30) &\to& (t,30-2t) \\
2.9 & (30-2t,90+t) &:& (30-2t, 30) &\to& (t,2t) \\
\end{array}
$




3. $[\![ A,B ]\!] = [\![ [\![ t, 60^\circ - 4t, 60^\circ + t ]\!], [\![ 3t, 30^\circ - 2t, 30^\circ + t]\!]]\!]$ için

$\begin{array}{llclcl}
3.1 & (t,60-4t) &:& (3t, 30-2t) &\to& (60+t,30+t) \\
3.2 & (t,60-4t) &:& (3t, 30+t) &\to& (60+t,30-2t) \\
3.3 & (t,60-4t) &:& (30-2t, 30+t) &\to& (60+t,3t) \\
3.4 & (t,60+t) &:& (3t, 30-2t) &\to& (60-4t,30+t) \\
3.5 & (t,60+t) &:& (3t, 30+t) &\to& (60-4t,30-2t) \\
3.6 & (t,60+t) &:& (30-2t, 30+t) &\to& (60-4t,3t) \\
3.7 & (60-4t,60+t) &:& (3t, 30-2t) &\to& (t,30+t) \\
3.8 & (60-4t,60+t) &:& (3t, 30+t) &\to& (t,30-2t) \\
3.9 & (60-4t,60+t) &:& (30-2t, 30+t) &\to& (t,3t) \\
\end{array}$




4. $[\![ A,B ]\!] = [\![ [\![ t, 30^\circ - t, 90^\circ - t ]\!], [\![ 2t, 30^\circ - t, 30^\circ]\!]]\!]$ için

$\begin{array}{llclcl}
4.1 & (t,30-t) &:& (2t, 30-t) &\to& (90-t,30) \\
4.2 & (t,30-t) &:& (2t, 30) &\to& (90-t,30-t) \\
4.3 & (t,30-t) &:& (30-t,30) &\to& (90-t,2t) \\
4.4 & (t,90-t) &:& (2t, 30-t) &\to& (30-t,30) \\
4.5 & (t,90-t) &:& (2t, 30) &\to& (30-t,30-t) \\
4.6 & (t,90-t) &:& (30-t,30) &\to& (30-t,2t) \\
4.7 & (30-t,90-t) &:& (2t, 30-t) &\to& (t,30) \\
4.8 & (30-t,90-t) &:& (2t, 30) &\to& (t,30-t) \\
4.9 & (30-t,90-t) &:& (30-t,30) &\to& (t,2t) \\
\end{array}$




5. $[\![ A,B ]\!] = [\![ [\![ t, r, 90^\circ -r- t ]\!], [\![ t, r, 90^\circ-r-t]\!]]\!]$ için

$\begin{array}{llclcl}
5.1 & (t,r) &:& (t, r) &\to& (90-r-t,90-r-t) \\
5.2 & (t,r) &:& (t, 90-r-t) &\to& (90-r-t,r) \\
\end{array}$


Böylelikle elimizde $4\times 9+2=38$ farklı soru olmuş oldu. Elbette $(t,90-3t,x):(2t, 30-t,y)$ ile $(30-t,2t,x):(t, 90-3t,y)$ farlı üçgenler belirtmekte; ama basit sentetik ya da trigonometrik işlemlerle birbirlerine dönüştürülebilmekte. Bunun için bu iki soru tipi, aynı soru modeli olarak yer aldı. Tüm bunların yanında, model sorularda aynı soruyu ifade edecek başka parametrik açıların da olduğu unutulmamalı. Yani $t = 30 - t$ değiştirmesi ile; $(t, 30, 90-3t):(2t, 30-t, 30+t)$ ile $(30-t, 30, 3t):(60-2t, t, 60-t)$ soru tipleri aynı modeli belirtmekte.

Bir soru tipinin hangi model (modellere) ait olduğunu bulmak için https://output.jsbin.com/fofecum adresindeki programı kullanabilirsiniz.


Şimdi, numaralara referans vererek soruları çözebiliriz diye düşünüyorum. Örneğin meşhur $10,10,10,20$ sorusu $2.1$ deki soru tipine uymaktadır.
$(t,30-2t):(2t, 30-2t) \to (x,y) = (10, 10, x) : (20, 10, y) = (10, 10, x) : (10,20,y)$

Yine bir başka örnek: bu adreste (Fantezi Geometri Arşivi/Konu: Model Üçgen ve Dörtgen) işlenen soru tipi $1.3$ e örnektir.
« Son Düzenleme: Nisan 28, 2020, 08:09:10 ös Gönderen: scarface »

Çevrimiçi geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1763
  • Karma: +8/-0
Ynt: model üçgen - P noktası
« Yanıtla #1 : Ekim 09, 2010, 12:38:21 ös »
Bu konu matematik dergilerinde Langley's Adventitious Angles olarak irdelenmiş.

Derece cinsinden açıların rasyonel olduğu durumlar akademik olarak The number of intersection points made by diagonals of a regular polygon adlı makalede kapsamlı ele alınmış. Bu durumun oluşması için düzgün çokgenlerde 3 köşegenin kesişmesi gerektiği sonucu üzerine düzgün çokgen üzerinde bu modellemeler yapılmış. Düzgün çokgenlerde kaç köşegenenin tek bir noktada kesişebildiği, düzgün çokgende köşegenlerin kesişiminden oluşan nokta sayıları gibi farklı noktalar da tespit edilmiş. Daha detaylı okumalar için ilgili makalelerdeki referanslara bakabilirsiniz.

Bir aileye ait olmayan tüm soru tipleri aşağıdaki tabloda hangi çokgene ait olduklarına göre sıralanmış bir şekilde verilmiş. Bağıntı Türü sütunu (bu makalede anlatılan şekliyle) birbirinden türetilebilen modelleri göstermekte. (Açılar $180^\circ$ ile çarpılmalıdır.)
$$
\begin{array}{c||c|c|c|c||c|c|c||c}
\text{Çokgen} & \text {Model #}   & a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3
      & \text{Bağıntı Türü} \\ \hline \hline
30 & 6 & 1/10 & 2/15 & 3/10 & 2/15 & 1/6 & 1/6
      & 2(R_5:R_3) \\
 & 7 & 1/15 & 1/15 & 7/15 & 1/15 & 1/10 & 7/30 & \\
 & 8 & 1/30 & 7/30 & 4/15 & 1/15 & 1/10 & 3/10 & \\
 & 9 & 1/30 & 1/10 & 7/15 & 1/15 & 1/15 & 4/15 & \\
 & 10 & 1/30 & 1/15 & 19/30 & 1/15 & 1/10 & 1/10 & \\ \hline
 & 11 & 1/15 & 1/6 & 4/15 & 1/10 & 1/10 & 3/10
      & (R_5:R_3)+2R_3 \\
 & 12 & 1/15 & 2/15 & 11/30 & 1/10 & 1/6 & 1/6 & \\
 & 13 & 1/30 & 1/6 & 13/30 & 1/10 & 2/15 & 2/15 & \\
 & 14 & 1/30 & 1/30 & 7/10 & 1/30 & 1/15 & 2/15 & \\ \hline
 & 15 & 1/30 & 7/30 & 3/10 & 1/15 & 2/15 & 7/30
      & R_5+R_3+2R_2 \\
 & 16 & 1/30 & 1/6 & 11/30 & 1/15 & 1/10 & 4/15 & \\
 & 17 & 1/30 & 1/10 & 13/30 & 1/30 & 2/15 & 4/15 & \\
 & 18 & 1/30 & 1/15 & 8/15 & 1/30 & 1/10 & 7/30 & \\ \hline
42 & 19 & 1/14 & 5/42 & 5/14 & 2/21 & 5/42 & 5/21
      & (R_7:5R_3) \\
 & 20 & 1/21 & 4/21 & 13/42 & 1/14 & 1/6 & 3/14 & \\
 & 21 & 1/42 & 3/14 & 5/14 & 1/21 & 1/6 & 4/21 & \\
 & 22 & 1/42 & 1/6 & 19/42 & 1/14 & 2/21 & 4/21 & \\
 & 23 & 1/42 & 1/6 & 13/42 & 1/21 & 1/14 & 8/21 & \\
 & 24 & 1/42 & 1/21 & 13/21 & 1/42 & 1/14 & 3/14 & \\ \hline
60 & 25 & 1/20 & 1/12 & 29/60 & 1/15 & 1/10 & 13/60
      & 2(R_5:R_3) \\
 & 26 & 1/20 & 1/12 & 9/20 & 1/15 & 1/12 & 4/15 & \\
 & 27 & 1/20 & 1/12 & 5/12 & 1/20 & 1/10 & 3/10 & \\
 & 28 & 1/60 & 4/15 & 3/10 & 1/20 & 1/12 & 17/60 & \\
 & 29 & 1/60 & 13/60 & 9/20 & 1/12 & 1/10 & 2/15 & \\
 & 30 & 1/60 & 13/60 & 5/12 & 1/20 & 2/15 & 1/6 & \\ \hline
 & 31 & 1/12 & 1/6 & 17/60 & 2/15 & 3/20 & 11/60
      & (R_5:3R_3)+2R_2 \\
 & 32 & 1/12 & 2/15 & 19/60 & 1/10 & 3/20 & 13/60 & \\
 & 33 & 1/15 & 11/60 & 13/60 & 1/12 & 1/10 & 7/20 & \\
 & 34 & 1/20 & 11/60 & 3/10 & 1/12 & 7/60 & 4/15 & \\
 & 35 & 1/20 & 1/10 & 23/60 & 1/15 & 1/12 & 19/60 & \\
 & 36 & 1/30 & 7/60 & 19/60 & 1/20 & 1/15 & 5/12 & \\
 & 37 & 1/30 & 1/12 & 7/12 & 1/15 & 1/10 & 2/15 & \\
 & 38 & 1/30 & 1/20 & 11/20 & 1/30 & 1/15 & 4/15 & \\
 & 39 & 1/60 & 3/10 & 7/20 & 1/12 & 7/60 & 2/15 & \\
 & 40 & 1/60 & 4/15 & 23/60 & 1/12 & 1/10 & 3/20 & \\
 & 41 & 1/60 & 7/30 & 5/12 & 1/15 & 7/60 & 3/20 & \\
 & 42 & 1/60 & 13/60 & 11/30 & 1/20 & 1/12 & 4/15 & \\
 & 43 & 1/60 & 1/6 & 31/60 & 1/15 & 1/10 & 2/15 & \\
 & 44 & 1/60 & 1/6 & 5/12 & 1/20 & 1/15 & 17/60 & \\
 & 45 & 1/60 & 2/15 & 9/20 & 1/30 & 1/12 & 17/60 & \\
 & 46 & 1/60 & 1/10 & 31/60 & 1/30 & 1/15 & 4/15 & \\ \hline
84 & 47 & 1/12 & 3/14 & 19/84 & 11/84 & 13/84 & 4/21
      & (R_7:R_3)+2R_2 \\
 & 48 & 1/14 & 11/84 & 23/84 & 1/12 & 2/21 & 29/84 & \\
 & 49 & 1/21 & 13/84 & 23/84 & 1/14 & 1/12 & 31/84 & \\
 & 50 & 1/42 & 1/12 & 7/12 & 1/21 & 1/14 & 4/21 & \\
 & 51 & 1/84 & 25/84 & 5/14 & 5/84 & 1/12 & 4/21 & \\
 & 52 & 1/84 & 5/21 & 5/12 & 5/84 & 1/14 & 17/84 & \\
 & 53 & 1/84 & 3/14 & 37/84 & 1/21 & 1/12 & 17/84 & \\
 & 54 & 1/84 & 1/6 & 43/84 & 1/21 & 1/14 & 4/21 & \\ \hline
90 & 55 & 1/18 & 13/90 & 7/18 & 11/90 & 2/15 & 7/45
      & (R_5:R_3)+2R_3 \\
 & 56 & 1/45 & 19/90 & 16/45 & 1/18 & 1/10 & 23/90 & \\
 & 57 & 1/90 & 23/90 & 31/90 & 2/45 & 1/15 & 5/18 & \\
 & 58 & 1/90 & 17/90 & 47/90 & 1/18 & 4/45 & 2/15 & \\ \hline
120 & 59 & 13/120 & 3/20 & 31/120 & 2/15 & 19/120 & 23/120 &
      (R_5:R_3)+3R_2 \\
 & 60 & 1/12 & 19/120 & 29/120 & 1/10 & 13/120 & 37/120 & \\
 & 61 & 1/20 & 23/120 & 29/120 & 1/15 & 13/120 & 41/120 & \\
 & 62 & 1/60 & 13/120 & 73/120 & 1/20 & 1/12 & 2/15 & \\
 & 63 & 1/120 & 7/20 & 43/120 & 7/120 & 11/120 & 2/15 & \\
 & 64 & 1/120 & 3/10 & 49/120 & 7/120 & 1/12 & 17/120 & \\
 & 65 & 1/120 & 4/15 & 53/120 & 1/20 & 11/120 & 17/120 & \\
 & 66 & 1/120 & 13/60 & 61/120 & 1/20 & 1/12 & 2/15 & \\ \hline
210 & 67 & 1/15 & 41/210 & 8/35 & 1/14 & 31/210 & 61/210
      & (R_7:(R_5:2R_3)) \\
 & 68 & 13/210 & 1/10 & 83/210 & 1/14 & 4/35 & 9/35 & \\
 & 69 & 1/35 & 2/15 & 97/210 & 1/14 & 17/210 & 47/210 & \\
 & 70 & 1/210 & 3/14 & 121/210 & 11/210 & 1/15 & 3/35 & \\ \hline
\end{array}
$$

Aşağıdaki tabloda ise açı ölçüsüne göre sıralanmış bir biçimde modeller listelenmekte.
$$
\begin{array}{ccc| c}
&& [\![ A, B ]\!] &  \text {Model #} \\ \hline
(6/7, 270/7, 726/7) & : & (66/7, 12, 108/7) & 70 \\ \hline
(3/2, 39, 183/2) & : & (9, 15, 24) & 66  \\ \hline
(3/2, 48, 159/2) & : & (9, 33/2, 51/2) & 65  \\ \hline
(3/2, 54, 147/2) & : & (21/2, 15, 51/2) & 64  \\ \hline
(3/2, 63, 129/2) & : & (21/2, 33/2, 24) & 63  \\ \hline
(2, 34, 94) & : & (10, 16, 24) & 58 \\ \hline
(2, 46, 62) & : & (8, 12, 50) & 57 \\ \hline
(15/7, 30, 645/7) & : & (60/7, 90/7, 240/7) & 54  \\ \hline
(15/7, 270/7, 555/7) & : & (60/7, 15, 255/7) & 53  \\ \hline
(15/7, 300/7, 75) & : & (75/7, 90/7, 255/7) & 52  \\ \hline
(15/7, 375/7, 450/7) & : & (75/7, 15, 240/7) & 51  \\ \hline
(3, 18, 93) & : & (6, 12, 48) & 46 \\ \hline
(3, 39/2, 219/2) & : & (9, 15, 24) & 62  \\ \hline
(3, 24, 81) & : & (6, 15, 51) & 45 \\ \hline
(3, 30, 75) & : & (9, 12, 51) & 44 \\ \hline
(3, 30, 93) & : & (12, 18, 24) & 43 \\ \hline
(3, 39, 66) & : & (9, 15, 48) & 42 \\ \hline
(3, 39, 75) & : & (9, 24, 30) & 30 \\ \hline
(3, 39, 81) & : & (15, 18, 24) & 29 \\ \hline
(3, 42, 75) & : & (12, 21, 27) & 41 \\ \hline
(3, 48, 54) & : & (9, 15, 51) & 28 \\ \hline
(3, 48, 69) & : & (15, 18, 27) & 40 \\ \hline
(3, 54, 63) & : & (15, 21, 24) & 39 \\ \hline
(4, 38, 64) & : & (10, 18, 46) & 56 \\ \hline
(30/7, 60/7, 780/7) & : & (30/7, 90/7, 270/7) & 24  \\ \hline
(30/7, 15, 105) & : & (60/7, 90/7, 240/7) & 50  \\ \hline
(30/7, 30, 390/7) & : & (60/7, 90/7, 480/7) & 23  \\ \hline
(30/7, 30, 570/7) & : & (90/7, 120/7, 240/7) & 22  \\ \hline
(30/7, 270/7, 450/7) & : & (60/7, 30, 240/7) & 21  \\ \hline
(36/7, 24, 582/7) & : & (90/7, 102/7, 282/7) & 69  \\ \hline
(6, 6, 126) & : & (6, 12, 24) & 14 \\ \hline
(6, 9, 99) & : & (6, 12, 48) & 38 \\ \hline
(6, 12, 96) & : & (6, 18, 42) & 18 \\ \hline
(6, 12, 114) & : & (12, 18, 18) & 10 \\ \hline
(6, 15, 105) & : & (12, 18, 24) & 37 \\ \hline
(6, 18, 78) & : & (6, 24, 48) & 17 \\ \hline
(6, 18, 84) & : & (12, 12, 48) & 9 \\ \hline
(6, 21, 57) & : & (9, 12, 75) & 36 \\ \hline
(6, 30, 66) & : & (12, 18, 48) & 16 \\ \hline
(6, 30, 78) & : & (18, 24, 24) & 13 \\ \hline
(6, 42, 48) & : & (12, 18, 54) & 8 \\ \hline
(6, 42, 54) & : & (12, 24, 42) & 15 \\ \hline
(60/7, 195/7, 345/7) & : & (90/7, 15, 465/7) & 49  \\ \hline
(60/7, 240/7, 390/7) & : & (90/7, 30, 270/7) & 20  \\ \hline
(9, 15, 75) & : & (9, 18, 54) & 27 \\ \hline
(9, 15, 81) & : & (12, 15, 48) & 26 \\ \hline
(9, 15, 87) & : & (12, 18, 39) & 25 \\ \hline
(9, 18, 69) & : & (12, 15, 57) & 35 \\ \hline
(9, 33, 54) & : & (15, 21, 48) & 34 \\ \hline
(9, 69/2, 87/2) & : & (12, 39/2, 123/2) & 61 \\ \hline
(10, 26, 70) & : & (22, 24, 28) & 55 \\ \hline
(78/7, 18, 498/7) & : & (90/7, 144/7, 324/7) & 68  \\ \hline
(12, 12, 84) & : & (12, 18, 42) & 7 \\ \hline
(12, 24, 66) & : & (18, 30, 30) & 12 \\ \hline
(12, 30, 48) & : & (18, 18, 54) & 11 \\ \hline
(12, 33, 39) & : & (15, 18, 63) & 33 \\ \hline
(12, 246/7, 288/7) & : & (90/7, 186/7, 366/7) & 67  \\ \hline
(90/7, 150/7, 450/7) & : & (120/7, 150/7, 300/7) & 19  \\ \hline
(90/7, 165/7, 345/7) & : & (15, 120/7, 435/7) & 48  \\ \hline
(15, 24, 57) & : & (18, 27, 39) & 32 \\ \hline
(15, 57/2, 87/2) & : & (18, 39/2, 111/2) & 60  \\ \hline
(15, 30, 51) & : & (24, 27, 33) & 31 \\ \hline
(15, 270/7, 285/7) & : & (165/7, 195/7, 240/7) & 47  \\ \hline
(18, 24, 54) & : & (24, 30, 30) & 6 \\ \hline
(39/2, 27, 93/2) & : & (24, 57/2, 69/2) & 59  \\ \hline
\end{array}
$$
« Son Düzenleme: Nisan 24, 2020, 09:13:09 ös Gönderen: geo »

Çevrimiçi geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1763
  • Karma: +8/-0
Ynt: model üçgen - P noktası
« Yanıtla #2 : Ağustos 18, 2014, 03:12:53 öö »
İlk iletide tanımlanan soru modellerinin irdelendiği iletiler listesi:

Model 1.2
Model 1.3
Model 1.9

Model 2.1
Model 2.2
Model 2.3

Model 3.6

Model 4.1
Model 4.2
Model 4.3
Model 4.5
Model 4.6
Model 4.7

Model 5.1

Model 11
Model 11.6

Model 56.8
« Son Düzenleme: Nisan 24, 2020, 06:17:06 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 249
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: model üçgen - P noktası
« Yanıtla #3 : Ağustos 11, 2019, 03:22:07 ös »
Model 11.6
« Son Düzenleme: Nisan 24, 2020, 06:15:01 ös Gönderen: geo »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal