İfadeyi pozitif tam sayılarda ispatlayalım.(Muhtemelen istenen durum bu ve sorunun çalışabilmesi için $n>1$ olmalıdır. ) $a=dx$ , $b=dy$ , $(x,y)=1$ olacak şekilde $x,y,d$ pozitif tam sayılarını alalım. Buradan
$d^n.(x^n+y^n)=2^m$ olduğu için ve $d|2^m$ olduğundan $d$ $2$ nin kuvveti olmalıdır. O halde $x^n+y^n=2^z$ olacak şekilde $z$ pozitif tam sayısı vardır. ($z=0$ olamaz çünkü $x^n+y^n=1$ olunca $x,y$ aynı anda pozitif olamaz.)
$n$ çift olsun ve varsayalım ki $x,y$ tek sayılar olsun. Bu durumda $x^n+y^n\equiv 2 \pmod 4$ olacağı açıktır. $z=1$ tek olası çözümdür. Bu durumda da $x=1$ ve $y=1$ sağlar. Bu da bize $a=b$ olduğunu gösterir.
$x,y$ zıt paritede olursa sol taraf tek sayı geleceğinden çelişkidir.
$x,y$ çift olursa $(x,y)=1$ olamaz. Çelişki.
$n$ tek sayı olmalıdır. O halde $$x^n+y^n=(x+y).(x^{n-1}-x^{n-2}y+...+y^{n-1})$$ şeklinde ifadeyi faktörize edebiliriz. Benzer şekilde $x,y$ aynı anda tek olması gerektiğinden $2.$ çarpan daima tek sayıdır. Dolayısıyla bu sayı $1$ eşit olmalıdır. Bu durumda $x+y=2^z$ olur. Yani $$x^n+y^n=x+y$$ Ancak bu da $x=1$ için $x^n=x$ ve $y=1$ için $y^z=y$ olduğundan ve $x>1$ için $x^n>x$ ve $y>1$ için $y^n>y$ olduğundan $x=1$ ve $y=1$ olmalıdır. Bu da bize $x=y$ yani $a=b$ sonucunu verir.
Geriye $n=1$ durumu kalır. Bu durumda da $a=2^m-b$ elde ederiz. Bu durumda $a=b$ nin çalışmadığına dair bir örnek olarak $(a,b,m)=(2,6,3)$ durumu örnek verilebilir.
