2011 - 16. Antalya Matematik Olimpiyatları Soruları

[Lokman Gökçe]

çözüm 14:

[gahiax]

bi daha kombinatorik sorusu çözmüyecem mahvetti bu soru beni  lokman hocam yokmudur bi kısa yolu bunun

[Lokman Gökçe]

eline sağlık H. İbrahim kardeşim dikkatli ve güzel bir çözüm vermişsin. kombinatorik problemlerine devam etmelisin bence. etkilenmemek için çözümünü okumadan aşağıdaki çözümü yaptım ben de. temel olarak 2.C(8,3).C(4,3) - C(4,3).C(4,3) kombinasyon hesabı problemimizi çözüyor.

[Lokman Gökçe]

problem 18 bu sınavın en çok merak edilen sorusuydu sanırım. ayrıca çözmesi de keyifli bir geometrik eşitsizlik problemi

[Lokman Gökçe]

çözüm 15:

[osman211]

çok iyi bi çözüm olmuş bosuna uğraşıyomuşum meğer soru için

[Lokman Gökçe]

çalışma boşa gitmez Osman kardeşim, endişe etme. Tübitak ve Antalya gibi yarışma problemleri için çözemediğimiz sorulara en az yarım saat ayırmak gereklidir. unutmayalım ki uğraşmadan çözüme bakmak bizi geliştirmez. bu sebeple doğrusunu yapmışsın ve problem üzerinde uğraşmışsın. çalışmalarında kolaylıklar dilerim

çözüm 9:

[Lokman Gökçe]

9. soru için bir başka çözüm daha düşündüm:

çözüm 9/2:

[Lokman Gökçe]

çözüm 8:

[Lokman Gökçe]

çözüm 10:

[geo]

18. soruya başka yerlerde rastlayanınız var mı? Ben görmedim.

Bu arada 18. sorunun genel hali için
Min(AP + BP + CP*q) =KÖK((q²(a²+c²-b²)+2b²+4[A]qKÖK(4-q²))/2)
ve q = 1 için Fermat noktası sorulmuş oluyor. Yani Min(AP+BP+CP) = KÖK((a²+b²+c²+4[A]KÖK(3))/2)

Not. [A] = Alan(ABC)

[Lokman Gökçe]

18. soruya daha önce rastlamadım şahsen. ama bu rpoblemden sonra kenar uzunlukları a, b, c olan ABC üçgeninin düzleminden keyfi bir P noktası seçildiğinde x.PA+ y.PB+ z.PC toplamının min. değerinin bulunması için bir yöntem buldum. burada x, y, z üçgen eşitsizliğini sağlayan verilmiş pozitif sayılardır. x = y = z = 1 durumunda fermat noktasını elde ediyoruz. x = √2, y = z = 1 durumunda antalya'nın 18. problemini elde ediyoruz.

p.24 deki diğer bir geometrik eşitsizlik probleminin çözümünü verelim. çözümde ikizkenar üçgenler için izoperimetri teoremini kullanıyoruz. ispatını vermedim ama biraz uğraşılınca bulunabilir diye düşündüm. (olmazsa ayrıca bu ispatı hazırlayıp gönderebiliriz)

çözüm 24:

[geo]

18. problemin genel hali "Ağırlıklandırılmış Fermat Noktası" diye geçiyormuş.

Google Keywords:
"Generalized Fermat Point", "The Weighted Fermat Point", "The Weighted Fermat Triangle"

[Lokman Gökçe]

ağırlıklandırılmış fermat noktası problemi 1965 de çözülmüş, (daha da eski çözüm var mı bilmiyorum) sonraki yıllarda da farklı çözüm yöntemleri sunan çalışmalar yapılmış.

19. problemi çözümünde direkt bir sıralama yapmak istersek cebirsel işlemlerle 3^1/3 < log₃5 olduğunu göstermek  basit olmayabilir. hesap makinesi kullanmadan bu eşitsizliği ispatlayan üyelerimiz olursa çözümlerini paylaşabilir

çözüm 19:

[Lokman Gökçe]

çözüm 20: