Aslında bunun üretici fonksiyonunu kolayca yazabiliriz.
$S$, pozitif tamsayılardan oluşan bir küme olsun. $n$ doğal sayısının parçalar $S$ kümesinden alınacak şekildeki parçalanışlarının sayısına $p_S(n)$ diyelim. Boş parçalanmayı da dahil ederek $p_S(0)=1$ olarak tanımlıyoruz. Örneğin, $S=\mathbb{P}$ asal sayılar kümesi ise sorudaki örnekteki gibi $p_S(7)=3$ ve $p_S(10)=5$ olacaktır. $p_S(n)$'in üretici fonksiyonu şu şekildedir, $$F_S(q):=\sum_{n\geq 0}p_S(n)q^n=\prod_{r\in S}(1-q^r)^{-1}.$$ Bunu da $(1-q^r)^{-1}=1+q^r+q^{r+r}+q^{r+r+r}+\cdots$ yazarak kolayca görebiliriz.
Dolayısıyla, sorudaki fonksiyonun üretici fonksiyonu da $$F(q):=F_{\mathbb{P}}(q)=\prod_{p\text{ bir asal}}(1-q^p)^{-1}=\frac{1}{(1-q^2)(1-q^3)(1-q^5)(1-q^7)\cdots}$$ şeklindedir. Ne yazık ki parçalanma fonksiyonları için, kapalı bir formül bulunmuyor ($S$'nin sonlu küme olduğu gibi özel durumlar hariç). Örneğin $S=\mathbb{Z}^+$ seçildiğinde bile $p:=p_{\mathbb{Z}^+}$'in kapalı formülü olmadığı gibi birçok özelliği de hâlâ bilinmemektedir. Hatta $p$'nin $3$ modunda sonsuz defa $0$ kalanı verip vermediği bile bilinmemektedir. Dolayısıyla, çok daha rastgele bir küme olan asal sayılar kümesi için $p_S$'nin kapalı bir formülü olması çok da beklenen bir şey değildir.
Tabii alt sınır bulabiliriz. Örneğin, $G(q):=\frac{1}{(1-q^2)(1-q^3)}$ olarak tanımlarsak da bu fonksiyonun katsayıları doğal olarak $F$'ninkinden fazla olamayacaktır. Bu yüzden $$p_{\mathbb{P}}(n)=[q^n]F(q)\geq [q^n]G(q)\geq \left\lfloor\frac{n}{6}\right\rfloor$$ olduğundan $n$'nin asalların toplamı olarak en az $\frac{n}{6}$ farklı şekilde yazılacağını söyleyebiliriz. $G$'ya daha çok terim ekleyerek daha iyi alt sınırlar elde edebiliriz.
