Geomania.Org Forumları

$A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ noktaları $A B C$ üçgeninin sırası ile $[\mathrm{BC}],[\mathrm{CA}]$ ve $[\mathrm{AB}]$ kenarları üzerinde olmak üzere $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C$ ' doğruları üçgenin içinde bir M noktasında kesişmektedir. $\frac{|M A|}{\left|M A^{\prime}\right|} \cdot \frac{|M B|}{\left|M B^{\prime}\right|} \cdot \frac{|M C|}{\left|M C^{\prime}\right|}=2011$ eşitliği sağlanıyorsa, $\frac{|M A|}{\left|M A^{\prime}\right|}+\frac{|M B|}{\left|M B^{\prime}\right|}+\frac{|M C|}{\left|M C^{\prime}\right|}$ toplaminı bulunuz.

$a>0, b>0$ ve $a+b=a\cdot b$ ise $S=\frac{a}{b^{2}+4}+\frac{b}{a^{2}+4}$ ifadesinin alabileceği en küçük değerin $1 / 2$ olduğunu gösteriniz.

$000, 001, \ldots , 999$ sayıları ile numaralandırılmış $1000$ top ve $00$, $01$, $\ldots$, $99$ sayıları ile numaralandırılmış $100$ kutu vardır. Eğer bir topun numarasının bir basamağı silinip $ab$ sayısı elde edilebiliyorsa, o top $ab$ numaralı kutuya yerleştirilebilir. Buna göre, tüm toplar $50$ kutuya yerleștirilebilir mi?

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $P(x)=x^{3}+(2 a+1) x^{2}+\left(2 a^{2}+2 a-3\right) x+2$ polinomunun en az bir kökünün rasyonel olmadığını gösteriniz.

$k \geq 2 \in \mathbb{Z}^{+}$olmak üzere, $x^{3}+k y^{2}$ ve $y^{3}+k x^{2}$ sayılarının her ikisini birden tam küp yapan $(x,y)$ pozitif tam sayı ikililerine güzel ikili diyelim. En az bir güzel ikilinin bulunmasını sağlayan en küçük $k$ pozitif tam sayısını bulunuz.