2012 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Kış Kampı Sınavı Soru 5

[geo]

$k \geq 2 \in \mathbb{Z}^{+}$olmak üzere, $x^{3}+k y^{2}$ ve $y^{3}+k x^{2}$ sayılarının her ikisini birden tam küp yapan $(x,y)$ pozitif tam sayı ikililerine güzel ikili diyelim. En az bir güzel ikilinin bulunmasını sağlayan en küçük $k$ pozitif tam sayısını bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

$k=7$ için $(x,y)=(1,1)$ güzel ikilidir. $k\leq 6$ için güzel ikili olmadığını gösterelim. Aksini varsayalım. $(x,y)$ güzel ikilisi olsun. İlk durum olarak $x^3+ky^2=(x+1)^3$'i inceleyelim. $$x^3+ky^2=(x+1)^3\implies ky^2=3x^2+3x+1$$ olur. $x^2+x$ çift sayı olduğundan $3x^2+3x+1$ tek sayıdır. Yani $k$ da tektir. Ayrıca $3\not\mid k$'dır çünkü $3\not\mid 3x^2+3x+1$ olacaktır. Tek olası durum $k=5$'dir. Ancak bu durumda $$5y^2\equiv 3x^2+3x+1\equiv 1\pmod{3}\implies y^2\equiv 2\pmod{3}$$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla $$x^3+ky^2\geq (x+2)^3\implies ky^2\geq 6x^2+12x+8$$ olacaktır. Benzer şekilde $$y^3+kx^2\geq (y+2)^3\implies kx^2\geq 6y^2+12y+8$$ olacaktır. Bu iki eşitsizliği toplarsak, $$k(x^2+y^2)\geq 6(x^2+y^2)+12(x+y)+16\implies k>6$$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla $k\leq 6$ için güzel ikili yoktur. Güzel ikili bulunmasını sağlayan $\boxed{\min k=7}$'dir.