Bir $ABC$ üçgeninde $|AB|=7$, $|BC|=8$, $|AC|=6$ ve $[BC]$ kenarının orta noktası $D$; $A$, $B$ ve $D$ noktalarından geçen çemberin $AC$ yi kestiği noktalar $A$ ve $E$ olmak üzere, $|AE|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 23
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

$1\cdot 2003 + 2\cdot 2002 + 3\cdot 2001 + \cdots + 2001 \cdot 3 + 2002 \cdot 2 + 2003 \cdot 1$ sayısının kaç asal böleni vardır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

Hiçbiri bir diğerinin $3$ katı olmayan en çok kaç $51$ den küçük pozitif tam sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 17
\qquad\textbf{b)}\ 36
\qquad\textbf{c)}\ 38
\qquad\textbf{d)}\ 39
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$x^2-ax-b$ polinomunun köklerinin $5$ ten büyük olmamasını sağlayan kaç $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 40
\qquad\textbf{b)}\ 50
\qquad\textbf{c)}\ 65
\qquad\textbf{d)}\ 75
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $ABC$ üçgeninde, $C$ köşesinden $AB$ ye inilen dikmenin ayağı $D$, yüksekliklerin kesişim noktası $H$ dir. $|CH|=|HD|$ olduğuna göre, $\tan \widehat {A} \cdot \tan \widehat{B}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 3/2
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$2000!$ sayısının ondalık yazılımının sonunda tam olarak kaç $0$ vardır?

$
\textbf{a)}\ 222
\qquad\textbf{b)}\ 499
\qquad\textbf{c)}\ 625
\qquad\textbf{d)}\ 999
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\text{AAAIEE}$ dizisi ile başlanıp, $\text{AIE}$ yerine $\text{EA}$, $\text{AE}$ yerine $\text{IE}$, $\text{E}$ yerine $\text{AI}$ koyma işlemleri istenildiği kadar tekrarlanarak aşağıdaki dizilerden hangisi elde edilemez?

$
\textbf{a)}\ \text{AIAIIAI}
\qquad\textbf{b)}\ \text{AIAIAI}
\qquad\textbf{c)}\ \text{AIAAA}
\qquad\textbf{d)}\ \text{AIAA}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$P$ polinomu, her gerçel $x$ için $(x-4)P(2x) = 4(x-1)P(x)$ eşitliğini ve $P(0) \neq 0$ koşulunu sağlıyorsa, $P$ nin derecesi nedir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

İçteğet çemberinin yarıçapı $1$ ve her kenar uzunluğu bir tam sayı olan kaç üçgen vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz}
$

$x^3+3x^2-2x+4 \equiv 0 \pmod{25}$ ve $0\leq x < 25$ koşullarını sağlayan tam sayıların toplamı $25$ modunda aşağıdakilerden hangisine denktir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 17
\qquad\textbf{d)}\ 22
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\text{ABRAKADABRA}$ kelimesinin harfleri, rastgele sıralandığında ilk $\text{A}$ harfinin ilk $\text{B}$ harfinden önce gelme olasılığı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 23
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 57
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 56
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 67
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\dfrac{4x^2}{1+4x^2}=y$, $\dfrac{4y^2}{1+4y^2}=z$, $\dfrac{4z^2}{1+4z^2}=x$ sistemini tam olarak kaç gerçel $(x,y,z)$ üçlüsü sağlar?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $ABC$ üçgeninde, $|AB|=8$ ve $|AC|=2|BC|$ dir. $[AB]$ kenarına ait yükseklik en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 3\sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac {16}3
\qquad\textbf{e)}\ 6
$ 

$5p(2^{p+1}-1)$ sayısını tam kare yapan kaç $p$ asal sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\text{A}$ ve $\text{B}$ isimli Türk takımları Avrupa Kupası'nda son $16$ takım arasında yer alıyor. Bu takımların kura ile eşleştirilmesiyle oynanan sekiz maçta yenilen takımlar eleniyor. Kalan takımlar ise yeniden kura ile eşleştirilerek, tek bir takım kalana kadar kupa bu şekilde sürüyor. Her maçta her takımın diğerini yenme olasılığı aynı ise, $A$ ve $B$ takımlarının karşılaşma olasılığı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {1}{32}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {1}{16}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac {1}{8}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac {1}{4}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$t$ gerçel sayısının aşağıdaki değerlerinden hangisi için $x^4-tx+\dfrac 1t = 0$ denkleminin hiçbir kökü $[1,2]$ aralığında yer almaz?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $C_1$ çemberi ile, $C_1$ in merkezinden geçen ve onu $A$ ve $B$ noktalarında kesen bir $C_2$ çemberi veriliyor. $C_2$ çemberine $B$ noktasında teğet olan doğru, $C_1$ çemberini $B$ ve $D$ noktalarında kesiyor. $C_1$ in yarıçapı $\sqrt 3$; $C_2$ in yarıçapı $2$ olduğuna göre $\dfrac{|AB|}{|BD|}$ yi bulunuz.

$
\textbf{a)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {\sqrt 3}2
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac {2\sqrt 3}2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac {\sqrt 5}2
$

$5^n + n^5$ sayısının $11$ ile bölünmesini sağlayan $2003$ ten büyük en küçük $n$ tam sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 2010
\qquad\textbf{b)}\ 2011
\qquad\textbf{c)}\ 2012
\qquad\textbf{d)}\ 2014
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Düzlemde $2003$ farklı noktayı birleştiren doğru parçalarının orta noktalarından oluşan kümenin en az kaç elemanı olabilir?

$
\textbf{a)}\ 2006
\qquad\textbf{b)}\ 4001
\qquad\textbf{c)}\ 4003
\qquad\textbf{d)}\ 4006
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\sqrt{ x + 1 - 4\sqrt{x-3}} + \sqrt{ x + 6 - 6\sqrt{x-3}} =  1$ denklemini sağlayan kaç $x$ gerçel sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$C_1$ ve $C_2$ çemberleri bir $T$ noktasında dıştan teğettir. $T$ den geçen bir doğru, $C_1$ çemberini $A$, $C_2$ çemberini de $B$ noktasında kesiyor. $C_1$ çemberine $A$ da teğet olan doğru, $C_2$ yi $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $D \in [AE]$, $|TA|=a$, $|TB|=b$ olduğuna göre $|BE|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{a(a+b)} \\
\textbf{b)}\ \sqrt{a^2+b^2+ab} \\
\textbf{c)}\ \sqrt{a^2+b^2-ab} \\
\textbf{d)}\ \sqrt{a^2+b^2} \\
\textbf{e)}\ \sqrt{(a+b)b}
$

Aşağıdaki $n$ tam sayılarından hangisi için $x^2 \equiv -1 \pmod{n}$ denkliğini sağlayan en az bir $x$ tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 97
\qquad\textbf{b)}\ 98
\qquad\textbf{c)}\ 99
\qquad\textbf{d)}\ 100
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Ayşe, masanın üstünde duran farklı renklerdeki dokuz topun ağırlıklarının $1,2,\cdots, 9$ gram olduğunu biliyor, ancak hangi topun hangi ağırlıkta olduğunu bilmiyor. Barış ise, her topun ağırlığını biliyor. Barış, hangi kefenin ağır olduğunu ve kefelerindeki ağırlıkların farkını gösteren bir teraziyi en az kaç kez kullanarak bu bilgisini Ayşe'ye kanıtlayabilir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

$3a=1+\sqrt 2$ ise, $9a^4-6a^3+8a^2-6a+9$ u aşmayan en büyük tam sayı nedir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde, $[AB]$ nin orta noktası $D$, çevrel çemberin merkezi $O$ dur. $ADO$ üçgeninin çevrel çemberi, $[AC]$ yi $A$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $|AE|=7$, $|DE|=8$ ve $m(\widehat{AOD}) = 45^\circ$ olduğuna göre $ABC$ üçgeninin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ 56\sqrt 3
\qquad\textbf{b)}\ 56 \sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 50 \sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 84
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$ sayılarından her birinin kendi ondalık yazılımındaki basamaklar toplamı ile bölünmesini sağlayan ve ondalık yazılımının birler basamağı $8$ olan $n$ tam sayılarının onlar basamağı kaç farklı değer alabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

$1\times 1$ boyutlarında bir karenin içine, çevre uzunlukları toplamı $C$ olan sonlu sayıda çember yerleştirilmiştir. $C=\dfrac {43}5$, $9$, $\dfrac{91}{10}$, $\dfrac{19}{2}$, $10$ değerlerinden kaçı için, bu çemberlerden dördünü kesen bir doğrunun varlığını kesin olarak söyleyebiliriz?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

$a$, $x$, $y$, $z$ gerçel sayıları, $ax-y+z=3a-1$ ve $x-ay+z=a^2-1$ eşitliklerini sağlıyorsa, $x^2+y^2+z^2$ aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ \sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt[3]{4}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$ABC$ dik üçgeninde $[AB]$ hipotenüsünün orta noktası $D$, çevrel çember yarıçapı $\dfrac 52$ ve $|BC|=3$ olduğuna göre, $ACD$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ile $BCD$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi arasındaki uzaklık nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {29}{2}
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 52
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5\sqrt{34}}{12}
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt 2
$

$n$ pozitif tam sayısının ondalık yazılımının basamakları toplamı $111$, $7002n$ sayısındaki de $990$ ise, $2003n$ sayısının ondalık yazılımının basamakları toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ 309
\qquad\textbf{b)}\ 330
\qquad\textbf{c)}\ 550
\qquad\textbf{d)}\ 555
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$n$ sayısı $n$ defa kullanılmak koşuluyla, sonsuz bir satranç tahtasının her birim karesine bir pozitif tam sayı yazılmıştır. Ortak kenarı olan herhangi iki karedeki sayıların farkının mutlak değeri $k$ den büyük değilse, $k$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$f$ fonksiyonu her gerçel $x$ için $f(x)+3f(1-x)=x^2$ eşitliğini sağlıyorsa, $S=\{x \mid f(x)=0 \}$ olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}$ $S$ sonsuz bir kümedir.

$\textbf{b)}$ $\{0,1\} \subset S$

$\textbf{c)}$ $S=\phi$

$\textbf{d)}$ $S = \{(3+\sqrt 3)/2, (3-\sqrt 3)/2\}$

$\textbf{e)}$ Hiçbiri

Bir $ABC$  üçgeninde kenar ortayların kesişim noktası $G$, içteğet çemberin merkezi $I$ ve $GI \perp BC$ dir. $|AB|=c$, $|AC|=b$ olduğuna göre, $|BC|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{b+c}2
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{b+c}{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{3\sqrt 2}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $m$, $m+1$, $\cdots$, $m+n$ sayılarından yalnızca $m$ ve $m+n$ nin ondalık yazılımlarındaki basamakların toplamları $8$ ile bölünüyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 13
\qquad\textbf{c)}\ 14
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$n+m-1$ tane birim kare, bir kenarı $n$, diğer kenarı $m$ kareden oluşan bir $L$ şeklinde dizilmiştir. Ayşe ve Betül, Ayşe'nin başladığı ve sırası gelen oyuncunun, bitişik olarak aynı kenar boyunca sıralanmış istediği pozitif sayıda kareyi aldığı bir oyun oynuyorlar. Son kareyi alan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun $(n,m)=(2003,2003)$, $(2002,2003)$, $(2003,3)$, $(2001,2003)$ değerleri için dört kez oynanıyorsa, Ayşe kaç kez oyunu kazanmayı garantileyebilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

$a_1,a_2, \cdots , a_{2003}$ tam sayıları, $|a_1| = 1$ ve $|a_{i+1}|=|a_i+1|$ $(1\leq i \leq 2002)$ koşullarını sağlıyorsa, $|a_1+a_2+\cdots + a_{2003}|$ en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 34
\qquad\textbf{c)}\ 56
\qquad\textbf{d)}\ 65
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$