Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 15

[geo]

$\text{A}$ ve $\text{B}$ isimli Türk takımları Avrupa Kupası'nda son $16$ takım arasında yer alıyor. Bu takımların kura ile eşleştirilmesiyle oynanan sekiz maçta yenilen takımlar eleniyor. Kalan takımlar ise yeniden kura ile eşleştirilerek, tek bir takım kalana kadar kupa bu şekilde sürüyor. Her maçta her takımın diğerini yenme olasılığı aynı ise, $A$ ve $B$ takımlarının karşılaşma olasılığı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {1}{32}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {1}{16}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac {1}{8}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac {1}{4}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

Toplam $4$ tur olacak.
$1.$ turda $A$ nın diğer $15$ takımın her biri ile karşılaşma olasılığı $\dfrac {1}{15}$ tir. Dolayısıyla $B$ ile $1.$ turda karşılaşma olasılığı $\dfrac {1}{15}$ tir.
$1.$ turda karşılaşmayıp $2.$ turda karşılaşmaları için ikisinin de ilk tur maçlarını kazanmaları gerekir. Bu ihtimal $\dfrac 12 \cdot \dfrac 12 = \dfrac 14$ tür.
O halde aradığımız yanıt $$ \begin{array}{lcl}
\dfrac {1}{15} + \dfrac {14}{15} \cdot \dfrac {1}{4} \left ( \dfrac 17 + \dfrac 67 \cdot \dfrac 14 \left ( \dfrac 13 + \dfrac 23 \cdot \dfrac 14 \right)  \right )
&=& \dfrac {1}{15} + \dfrac {14}{15} \cdot \dfrac {1}{4} \left ( \dfrac 17 + \dfrac 67 \cdot \dfrac 14 \cdot \dfrac 12  \right )  \\
&=& \dfrac {1}{15} + \dfrac {14}{15} \cdot \dfrac {1}{4} \cdot \dfrac 14  \\
&=& \dfrac {16 + 14}{16 \cdot 15} \\
&=& \dfrac {1}{8}
\end{array}$$

[geo]

$p_n$ ile $2^n$ takımın karşılaştığı bir turnuvada $A$ ile $B$ nin eşleşme ihtimalini gösterelim.

Açık şekilde $p_1 = 1$.

$p_{n+1} = \dfrac {1}{2^{n+1} - 1} + \left ( 1- \dfrac {1}{2^{n+1}-1} \right ) \cdot \dfrac 14 \cdot p_n$

$p_2 = \dfrac {1}{3} + \dfrac 23 \cdot \dfrac 14 \cdot 1 = \dfrac 12$

$p_3 = \dfrac {1}{7} + \dfrac 67 \cdot \dfrac 14 \cdot \dfrac 12 = \dfrac 14$

$p_4 = \dfrac {1}{15} + \dfrac {14}{15} \cdot \dfrac 14 \cdot \dfrac 14 = \dfrac 18$ çıkacaktır.

Buraya kadarki işlemler soruyu çözmede yeterli.
İster bu aşamada isterse $p_2 = \dfrac 12$ olduğunu farkettikten sonra tümevarımla $p_n = \dfrac {1}{2^{n-1}}$ olduğunu gösterelim.
$\begin{array}{lcl}
p_{n+1} &=& \dfrac {1}{2^{n+1} - 1} + \left ( 1- \dfrac {1}{2^{n+1}-1} \right ) \cdot \dfrac 14 \cdot p_n \\
&=& \dfrac {1}{2^{n+1} - 1} + \left ( 1- \dfrac {1}{2^{n+1}-1} \right ) \cdot \dfrac 14 \cdot \dfrac {1}{2^{n-1}} \\
&=& \dfrac {1}{2^{n+1} - 1} + \left ( 1- \dfrac {1}{2^{n+1}-1} \right ) \cdot \dfrac {1}{2^{n+1}} \\
&=& \dfrac {2^{n+1} + 2^{n+1} - 2}{2^{n+1}\left ( 2^{n+1} -1 \right )} \\
&=& \dfrac {2\left ( 2^{n+1} - 1 \right )}{2^{n+1}\left ( 2^{n+1} -1 \right )} \\
&=& \dfrac {1}{2^n}.

\end{array}$