$m$ veya $n$' nin $0$ olduğu durumları şu anlık incelemeyelim. Öncelikle $m,n$ çift olduğunu ispatlayarak başlayalım. $m,n$ zıt parite olursa pay tek payda çift olduğundan çelişki gelir. $m,n$ aynı anda tek sayı ise $m^4\equiv 1 \pmod8$ ve $n^2\equiv 1 \pmod 8$ olduğundan dolayı pay $2\pmod 8$ ancak payda $0\pmod 4$ olduğundan çelişki gelir. $m=2a$ ve $n=2b$ olacak şekilde $a,b$ pozitif tam sayıları vardır.
Buradan $$(7^a-3^b)(7^a+3^b) \mid 4.(4a^4+b^2)$$ sonucuna ulaşabiliriz. Buradan soldaki iki çarpanın da çift olduğuna dikkat edersek $$\dfrac{7^a+3^b}{2}\dfrac{7^a-3^b}{2} \mid 4a^4+b^2$$ elde edilir. Burada $\dfrac{7^a+3^b}{2} \mid 4a^4+b^2$ ve iki terim de pozitif olduğu için $$7^a-8a^4+3^b-2b^2\leq 0$$ eşitsizliği elde edilir.
$$3^b-2b^2>0$$ eşitsizliğini hangi $b$ ler için ispatlandığını inceleyelim. Bunu yapmak için ifadeyi $f(b)$ fonksiyonu gibi düşünüp her $b$ pozitif tam sayısı için $f(b+1)>f(b)$ olduğunu ispatlayarak başlayalım.
Bu ifademiz $2.3^b-2.(2b+1)>0$ olduğunu göstermeye dönüşür. Bu da bize $3^b>2b+1$ sonucunu verir. Benzer şekilde tekrar incelenirse $2.3^b-2>0$ olduğunu göstermemiz gerektiğini görürüz ve bu $b>0$ tam sayılar için sağlanır. Ayrıca $b=1$ eşitlik, $b>1$ için de daima büyük olduğunu görürüz. Buradan $2.3^b-2.(2b+1) \geq 0$ $b=1$ için eşitlik durumu olup her $b>1$ için sağlanır. $3^b-2b^2$ daima azalan olmayan olduğu için ve $b=1$ durumu pozitif olduğu için bu ifade daima pozitiftir.
Benzer şekilde $7^a-8a^4>0$ ın daima sağlanacağı bir aralık olduğunu tahmin edebiliriz. Bunun ispatı uzun süreceği için es geçiyorum $a\geq 4$ için bu eşitsizlik sağlanır. Dolayısıyla $a \in \{1,2,3 \}$ sağlanmalıdır.
i) $a=1$ için eşitsizliğimiz $3^b-2b^2-1\leq 0$ oluyor. Bu eşitsizliğin yukarıdaki ispatladığımız fikirden yola çıkarak $b>3$ için sağlanmadığı görülebilir. Denenirse sadece $b=2$ için gelen $(m,n)=(2,4)$ ikilisinin çözüm olduğu görülebilir.
ii) $a=2$ için eşitsizliğimiz $3^b-2b^2-79\leq 0$ olur. $b\geq 5$ için çelişki geliyor. Küçük değerler için gelen $(m,n)$ denendiğinde çözüm gelmediği görülebilir.
iii) $a=3$ için eşitsizliğimiz $3^b-2b^2-305 \leq 0$ olur. $ b \geq 6$ için çelişki elde edilir. Kalan durumlar denenirse çözüm gelmediği görülebilir.
Geriye $m=0$ ve $n=0$ olan durumlar kalıyor. $(0,0)$ ın tanımsız olduğu görülebilir.
a) $m=0$ olsun. Bu durumda $3^n-1\leq n^2$ sağlanması gerektiğini görürüz. Aksi takdirde kesrimiz $(-1,0)$ aralığında değerler alabilir. Ancak $n\geq 1$ tam sayıları için $3^n-n^2-1>0$ sağlandığı görülebilir. Buradan çözüm gelmez.
b) $n=0$ olsun. Benzer şekilde $m\geq 1$ tam sayıları için $7^m-m^4-1>0$ olduğunu görebiliriz. Bu da bize kesrimizin $(0,1)$ aralığında yer alması gerektiğini gösterir. Çelişki.
Dolayısıyla denklemin tek çözümü $(m,n)=(2,4)$ ve ifadenin eşidi $-1$ olarak bulunur.
not: Bu sorunun çözümünde daha katı eşitsizlikler için $\dfrac{7^a+3^b}{2} \mid 4a^4+b^2$ ifadesinde eşitlik durumu ayrı incelenerek kalan durumlarda sağdaki ifadenin yarısına küçük eşittir şeklinde bir sonuç yazabilirdik. ( bu şekilde deneme gerektiren sayılar azalıyor.
