Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2026 Soru 02

[geo]

$A$ ve $B$ rakamları için $\overline{19AB}$ ve $\overline{20BA}$ sayıları $4$ basamaklı sayılar olmak üzere, $\overline{19AB}$ yılında doğan bir kişi $\overline{20BA}$ yılında $B^A$ yaşında olduğuna göre $A+B$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad \textbf{b)}\ 6 \qquad \textbf{c)}\ 7 \qquad \textbf{d)}\ 8 \qquad \textbf{e)}\ 11$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Bize verilen bilgi aslında $\overline{20BA}-\overline{19AB}=B^A$ olduğudur. Yani $$B^A+9A-9B=100$$ olarak yazılabilir.

Eğer $A=1$ ise çözüm gelmediği görülebilir. $A=2$ ise $B^2-9B=72$ bulunur. $B\leq 9$ olduğundan sol taraf hiçbir zaman pozitif değildir, çözüm yoktur.

$A=3$ ise $B^3-9B=73$ elde edilir. Sol taraf $B$'ye bölündüğünden ama $73$ asal olduğundan $B=1$ olmalıdır ama o da bir çözüm değildir.

$A=4$ ise $B^4-9B=64$ bulunur. $B$, $64$'ün bir böleni olmalıdır ama çözüm gelmez.

Eğer $A\geq 5$ ve $B\geq 3$ ise $$3^5-9\cdot 9\leq B^5-9B\leq B^A-9B=100-9A\leq 55$$ elde edilir ancak bu bir çelişkidir. Dolayısıyla, $B=2$ veya $B=1$ olmalıdır. $B=1$ olmayacağı barizdir. $B=2$'dir.

$B=2$ için $2^A+9A=118$ elde edilir. Sol taraf $A$'yı arttırdıkça artacağı için tek çözümü olacaktır, onu da denersek $A=6$ bulunur. Yani $A+B=6+2=8$'dir.