Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 32

[geo]

$120$ cüceden her biri kimsenin bilmediği bir fıkra biliyor. Keloğlan'ın amacı her cücenin tüm fıkraları öğrenmesidir. Keloğlan $k$ farklı günde birer parti düzenleyerek her partiye tüm cüceleri davet edecektir. Bir partiye katılan her cüce kendi fıkrasını ve o güne kadar öğrendiği tüm fıkraları partideki diğer cücelere aktaracaktır. Keloğlan, bu partileri düzenlemek için $10$ gün belirliyor ve her cüceye bu $10$ günün kaçının o cüce için uygun olduğunu soruyor. Cücelerden her biri kendisine uygun olan $7$ günü Keloğlan'a iletiyor. Keloğlan her durumda $10$ olası parti gününden $k$ tanesinde parti düzenleyerek amacına ulaşabiliyorsa, $k$ en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad \textbf{b)}\ 5 \qquad \textbf{c)}\ 6 \qquad \textbf{d)}\ 7 \qquad \textbf{e)}\ 8$

[AtakanCİCEK]

Cevap : D  

 Varsayalım ki seçilen gün kümesi $G$ ve her cücenin uygun olduğu gün kümesi $S$  olsun $$\mid G \cap S \mid \geq 7+7-10=4 $$ Dolayısıyla seçilen her cüce $7$ partiden en az $4$ üne katılır. Benzer şekilde güvercin yuvası ilkesi gereğince ($4+4>7$) olduğundan seçilen her iki cüce en az bir gün birlikte partiye katılır.  Şimdi $6$ günün mümkün olmadığını gösterelim.

seçilen günler $d_1,d_2,d_3,d_4,d_5,d_6$  olsun.

$1.$ cüce $\{d_1,d_2,d_3\}$ + seçilmeyen $4$ gün

$2.$  cüce  $\{ d_4,d_5,d_6 \}$ + seçilmeyen $4$ gün   şeklinde seçim yapabilir ve bu seçim Keloğlan'ın amacına ulaşmasını engeller.