Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 12

[geo]

Bir okuldaki $243$ öğrenci $5$ sorudan oluşan bir sınava girmiştir ve her öğrenci her bir sorudan ya $1$, ya $2$ ya da $3$ puan almıştır. Herhangi iki öğrenci, en az bir soruda birbirinden farklı puan almıştır. Üç öğrenciden oluşan bir grupta, her soru için bu üç öğrencinin bu sorudan aldığı puanların toplamı $3$ ile bölünüyorsa bu gruba iyi grup diyelim. Buna göre, bu öğrenciler arasından kaç farklı iyi grup seçilebilir?

$\textbf{a)}\ 9801 \qquad \textbf{b)}\ 9840 \qquad \textbf{c)}\ 9963 \qquad \textbf{d)}\ 10230 \qquad \textbf{e)}\ 10404$

[Abdullah demircan]

Bu üç öğrencinin bir sorudan aldıkları puanların toplamı $3$'ün katı ise ya her birinin aldığı puanlar birbirinden farklı olmalı ya da eşit olmalı. Her bir soru için bu üç kişinin puan dizilimi $9$ farklı şekilde yapılabilir. Toplam dizilim $9^{5}$ olur. Eğer her bir sorudan aldıkları puanlar eşit ise bu üç öğrenciden herhangi iki öğrencinin birbirinden farklı puanlar aldığı soru bulunamayacağından dolayı istenmeyen olasılık $3^{5}$ olarak bulunur, yani istenilen toplam dizilim $9^{5}-3^{5}$ olur. Hangi öğrencinin hangi soru-puan dizilimini yaptığı fark etmediği için cevap $\frac{9^{5}-3^{5}}{6}=9801$'dir