Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 08

[geo]

$n$ öğrenciden oluşan bir sınıfta her $A$ öğrencisi kendisinden farklı her $B$ öğrencisine ya tam olarak $1$ mesaj atmıştır ya da mesaj atmamıştır. Bu sınıftaki herhangi iki öğrenci birbirinden farklı sayıda mesaj atmıştır ve tüm öğrenciler eşit sayıda mesaj almıştır. Buna göre, $n$ sayısı $23, 34, 65, 127, 2026$ sayılarından kaçına eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad \textbf{b)}\ 1 \qquad \textbf{c)}\ 2 \qquad \textbf{d)}\ 3 \qquad \textbf{e)}\ 4$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{D}$

Öğrencilerin alabilecekleri mesaj sayıları $[0,n-1]$ olup $n$ farklı değer alabilir. Her öğrenci farklı sayıda mesaj attığından bu sayıların her biri atılmıştır ve toplam $n(n-1)/2$ mesaj atılmış olur. Kişi başı $n-1/2$ mesaj düşer ve $n$'nin tek sayı olduğu anlaşılır. Şimdi her tek sayı icin kosullarin sağlandığını gosterelim. Kişileri sağdan sola ifade edecek olursak soldan sağa doğru herkes sırasıyla $0,1,2\cdots n-1$ kişiye mesaj atsın ve tam ortadaki kişiye kadar sağdaki herkes solundaki her kişiye mesaj atsın. Tam ortadaki kişiden itibaren herkes sağ baştan başlayarak atacağı mesaj sayısı kadar kişiye sırasıyla mesaj atarsa durum saglanir. Yani $n$'nin tek sayı olması gerek ve yeter koşuldur.