Bu fonksiyonun sürekli ve azalan olduğu aralıklar $(-\infty,0)$ ve $(0,\infty)$. Burada şunu not düşmek lazım, bir fonksiyonun süreklilik, artanlık, konvekslik vs. gibi özelliklerinde aralıkları birleştirmemek çok önemlidir (bazı durumlarda sıkıntı çıkarmayabilir ama risklidir). Bunu basit bir örnekle gösterelim.
Artanlık/Azalanlık: $D\subseteq \mathbb{R}$ bir küme olsun. Eğer her $x,y\in D$ için $x\geq y\implies f(x)\geq f(y)$ ise $f$ fonksiyonu $D$ kümesinde artandır, eğer $x\geq y\implies f(x)\leq f(y)$ ise azalandır.
Şimdi şu örneğe bakalım: $$f(x)=\begin{cases}x^2&\text{eğer }x\leq 0\\ 1-x&\text{eğer }x>0\end{cases}.$$ Bu fonksiyon $(-\infty,0]$ aralığında da $(0,\infty)$ aralığında da azalandır ancak $(-\infty,\infty)$'de azalan değildir çünkü $f(0)<f(1/2)$'dir. Bu yüzden aralıkları birleştirmemek gerekir.
Bu örnekte de dolayısıyla, $(-\infty,0)$ ve $(0,\infty)$ aralıkları ayrı ayrı incelenmelir. Bize verilen aralık, yani $[-1/6,0)$ ve $(0,3]$ aralıklarında fonksiyonun görüntüleri, fonksiyon sürekli ve monoton olduğundan, $(-\infty,-6]$ ve $[1/3,\infty)$'dir. Dolayısıyla, fonksiyonun alamayacağı tamsayı değerleri $-5,-4,-3,-2,-1,0$'dır. Diğer tüm tamsayı değerlerini alabilir.
Alabileceği değerlerin toplamı doğru bir soru olmaz çünkü toplam ıraksar, alamayacağı değerlerin toplamını sorarsak da $-15$ buluruz.
Not: Sadece sürekli olsaydı da sınır değerlerine fonksiyonu uygulayıp geçemezdik. Örneğin, $f(x)=x^2$ fonksiyonunun $[-1,1]$ aralığındaki görüntüsü $[0,1]$'dir ancak $f(-1)=f(1)=1$'dir.
Not 2: Bahsedilen videoya da baktım ve ne diyeyim, sondaki toplama işlemine resmen üzüldüm. $(-a)$ ve $a$, toplam sırasında birbirini götürür denilerek toplama işlemi yapılmış ancak $(-a)$ ile $(a+1)$ sayılarını gruplasaydık da bu sefer sonsuz adet $1$ sayısının toplamından dolayı cevap sonsuz çıkardı. Bu toplamların ıraksak olmasının sebebi bu zaten.
