İfadeyi çarpanlarına ayırırsak, $(3n-7)(n^2-5)$ elde ederiz. $d=\operatorname{ebob}(3n-7,n^2-5)=:(3n-7,n^2-5)$ olsun. Terimlerin pozitif olması için $n\geq 3$ olmalıdır. Bu durumda ilerleyelim. Öklit algoritması kullanalım, $$d=(3n-7,3n^2-15)=(3n-7,(3n^2-15)-n(3n-7))=(3n-7,7n-15)$$ $$=(3n-7,n-1)=(4,n-1)$$ olduğundan $d=1,2,4$ olabilir. $d=1$ veya $d=4$ olursa, çarpanların ikisi de tamkare olmalıdır, $d=2$ durumunda ise $(3n-7,n^2-5)=(2u^2,2v^2)$ formatında olmalıdır.
Eğer $d=1$ veya $d=4$ ise $n^2-5=t^2$ olmalıdır, $(n-t)(n+t)=5$'den sadece $n=3$ olabileceğini görebiliriz ancak yerine koyarsak ifade $8$'e eşit çıkar, yani tamkare değildir.
Eğer $d=2$ ise $u$ ve $v$ aralarında asal olmak üzere, $(3n-7,n^2-5)=(2u^2,2v^2)$ formatındadır. $n$ tek olması gerektiğinden, $n^2-5\equiv 4\pmod{8}$ elde edilir ancak $2v^2\equiv 0,2\pmod{8}$ olduğundan bu bir çelişkidir. Yani ifade hiçbir $n\geq 3$ pozitif tamsayısı için tamkare olamaz.
$n=1$ ve $n=2$ için incelersek, tamkare olacağından ifadeyi tamkare yapan tüm pozitif tam sayılar $n=1$ ve $n=2$ değerleridir.
