$a,b,c$'den biri $1$ ise, genelliği bozmadan $a=1$ olsun, $2^a+a^2-b^2=3-b^2\geq 0$ olacağından $b=1$ olacaktır ama bu da çözüm vermez. Dolayısıyla $a,b,c\geq 2$ olmalıdır ve $2$'nin kuvvetleri $4$'de bölünecektir. İfadelere sırasıyla, $m^2,n^2,k^2$ diyelim, $$2^a+a^2=b^2+m^2,\quad 2^b+b^2=c^2+n^2,\quad 2^c+c^2=a^2+k^2$$ eşitliklerini mod $4$'de incelersek, taraf tarafa topladığımızda $m^2+n^2+k^2=2^a+2^b+2^c$ olacağından $m,n,k$'yı çift buluruz, dolayısıyla da $a,b,c$'nin pariteleri aynı olacaktır. Eğer $a,b,c$ tek ise $$b^2+m^2=2^a+a^2\equiv 2+a^2\equiv 0,2\pmod{3}\implies b^2\equiv m^2\pmod{3}$$ elde edilir. Dolayısıyla da $$2+a^2\equiv 2b^2\pmod{3},\quad 2+b^2\equiv 2c^2\pmod{3},\quad 2+c^2\equiv 2a^2\pmod{3}$$ bulunur. Bu sistemin çözümü olmadığı kolayca görülebilir. Sonuç olarak $a,b,c$ çift olmalıdır.
$a=b=c$ ve çiftlerse ifadelerin tamkare oldukları barizdir. Aksini varsayalım ve genelliği bozmadan $a>b$ olsun. Pariteden, bu tamkarelerin de çift olması gerektiği görünebilir. $$2^{a}+a^2-b^2>2^a\implies 2^{a}+a^2-b^2\geq (2^{a/2}+2)^2=2^a+2^{2+a/2}+4\implies a^2>a^2-b^2\geq 2^{2+a/2}+4$$ elde edilir. Bir taraf üstel, diğer taraf polinom olduğundan eşitsizlik bir noktada bozulacaktır. Ufak bir denemeyle tüm $a$ pozitif tamsayıları için aslında eşitsizliğin ters olması gerektiği görünebilir. Yani bulduğumuz eşitsizlik imkansızdır, $a=b=c$ olmalıdır. Dolayısıyla tüm çözümler $(a,b,c)=(2k,2k,2k)$ formatındadır.
