Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 08

[matematikolimpiyati]

Bir doğru üzerine birkaç bilye dizilmiştir. Her bilye ya kırmızı ya da beyaz renktedir. Herhangi $12$ ardışık bilyeden kırmızı ve beyaz olanların sayıları birbirine eşittir fakat herhangi $14$ ardışık bilyeden kırmızı ve beyaz olanların sayıları birbirinden farklıdır. Buna göre, doğru üzerindeki toplam bilye sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 14  \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 20  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$N$ tane bilye olsun. En fazla bilyeyi kullanmak adına sürekli ilerlemeye çalışalım. İlk $12$ bilyede $6$ kırmızı, $6$ beyaz olacak şekilde bir dizilim yapalım. Bu durumda $13.$ bilye, renk sayılarını korumak adına $1.$ bilye ile aynı olmalıdır. Benzer şekilde $n.$ bilye ile $(n+12).$ bilye aynı renk olmalıdır. Yani ilk $12$ bilye tüm $N$ bilyeyi belirler. Eğer $1.$ ve $2.$ bilye farklı renkteyse ilk $14$ bilyede $7$ kırmızı ve $7$ beyaz olacağından çelişki olacaktır. Benzer şekilde $n.$ ve $(n+1).$ bilyeler farklı renkte ise $(n+12).$ ve $(n+13).$ bilyeler de farklı renkte olacağından $n,n+1,\dots,n+13$ içerisinde $7$ beyaz, $7$ kırmızı olacaktır. Bu da çelişki olacağından ardışık iki bilye, eğer $(n+12).$ ve $(n+13).$ bilyeler varsa, aynı renkte olmalıdır. $N\geq 19$ olursa bu mümkün değildir çünkü ilk $7$ bilyenin aynı renk olması gerekir fakat ilk $12$ bilye arasında tam olarak $6$ beyaz ve $6$ kırmızı vardır. Bu yüzden $N\leq 18$ olmalıdır. $N=18$ için örnek durum da $$KKKKKKBBBBBBKKKKKK$$ şeklindedir.