Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 29

[Metin Can Aydemir]

$ABCD$ kenar uzunluğu $3$ olan bir kare olsun. $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir $E$ noktası $m(\widehat{AEC}) = 135^\circ$ olacak şekilde alınıyor. $BE$ ile $CD$ doğrularının kesişim noktası $F$ olmak üzere, $|CF| = 4$ ise, $|BE|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{21 - 6\sqrt{6}}{5} \qquad \textbf{b)}\ \dfrac{10 - 4\sqrt{2}}{3} \qquad \textbf{c)}\ \dfrac{12\sqrt{3} - 15}{4} \qquad \textbf{d)}\ \dfrac{5 - \sqrt{5}}{2} \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{A}$

$AC\cap BF=P$ olsun. $\angle{BAE}=\angle{ACE}=\alpha$ ve $\angle{BCE}=\angle{EAC}=\theta$'dır. $\triangle {APB}\sim \triangle {CPF}$ benzerliğinden $|CP|=\frac{12\sqrt2}{7}$ ve $|AP|=\frac{9\sqrt2}{7}$'dır. $ABP$ ve $BPC$ üçgenlerinde $BP$ medyanına göre sinüs  teoreminden sırasıyla $\frac{|BE|}{|EP|}=\frac{7\sin\alpha}{3\sqrt2 \sin\theta}$ ve $\frac{|BE|}{|EP|}=\frac{7\sin\theta}{4\sqrt2 \sin\alpha}$ gelir ve $\frac{|BE|}{|EP|}=\frac{7}{2\sqrt6}$ gelir. Yine aynı benzerlikten $|BP|=\frac{15}{7}$ oldugundan $7k+2\sqrt6 k = \frac{15}{7}\Longrightarrow |BE|=7k=\frac{21-6\sqrt6}{5}$ gelir.

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

$D$ merkezli $DC$ yarıçaplı çemberi çizelim. $E$ çember üzerinde olacaktır. $CG$ çemberin çapı olsun.
$D$ den $BF$ ye inilen yüksekliğin ayağı $H$ olsun.
$\triangle BCF$, bir $3-4-5$ üçgeni olduğu için $FH =\dfrac{4}{5}$.
$DE^2-DF^2=HE^2-HF^2 \Longrightarrow HE^2 = 3^2-1^2+\left (\dfrac 45 \right )^2= 8 +\dfrac{16}{25} = \dfrac{216}{25} \Longrightarrow HE=\dfrac{6\sqrt 6}5$.
$BE= BF- HF-HE= 5 - \dfrac 45 - \dfrac{6\sqrt 6}5=\dfrac{21-6\sqrt 6}5$.