Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 12

[Metin Can Aydemir]

$k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $4 \times 4$ satranç tahtasının her birim karesine $1,2,\dots,k$ sayılarından biri yazılmıştır. $1 \leq m < n \leq k$ koşulunu sağlayan her $(m,n)$ ikilisi için hem $m$ hem de $n$ sayısını içeren bir satır veya bir sütun bulunuyorsa, $k$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad \textbf{b)}\ 6 \qquad \textbf{c)}\ 7 \qquad \textbf{d)}\ 8 \qquad \textbf{e)}\ 9$

[Mathtaker]

$k=9$ olursa her sayinin en az 2 defa kullanilmasi gerekiyor bu da mumkun degil. Her sayi tek yazista en cok 6 farkli sayiyla karsiliyor. $k=8$ icin ornek: $$\begin{matrix} 1&2&4&5\\2&3&1&6\\3&5&8&7\\4&7&6&8\end{matrix}$$
 

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Bir sayı tahtada yalnızca bir karede yer alsın. Bu kare $R$-inci satır ile $S$-inci sütunun kesişiminde olsun. Eğer başka bir sayı, hem $R$-inci satır hem de $S$-inci sütun dışında bir yerde bulunursa, bu iki sayı ortak bir satır veya sütun paylaşmaz. Yani diğer tüm sayılar yalnızca $R$ veya $S$’de yer almalıdır. Her biri en fazla $3$’er kare içerdiğinden:

$$
\text{Toplam en fazla } 1 + 6 = 7 \text{ farklı sayı olabilir.}
$$

Bu halde $k\leq 7$ olmaktadır. Amacımız $k$'yı en büyük yapmaktır. O halde $k \geq 8$ olması için her sayının en az $2$ kez görünmesi gerekir. $16$ karelik tahtaya $k$ sayıdan her birini en az $2$ kez yazmak için:

$$
2k \leq 16 \Rightarrow k \leq 8
$$

Yani eğer her sayı en az $2$ kez yazılıyorsa, en fazla $8$ farklı sayı kullanılabilir. Bu durum $k=8$ olmaya zorlar.

Son olarak $k_{\max} = 8$ mümkün mü? Bunu örnekleyelim:


$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
1 & 1 & 2 & 2 \\\hline
3 & 4 & 3 & 4 \\\hline
5 & 6 & 6 & 7 \\\hline
7 & 8 & 8 & 5 \\\hline
\end{array}
$$