Alt Vektör Uzayının Boyutu

[Lokman Gökçe]

Problem (Lokman Gökçe): $\mathbb{R}^5$ uzayında
\begin{aligned}
W_1 &= \{ (x, y, z, t, v) \in \mathbb{R}^5 \mid x + 2y + 3z - 5t + 2v = 0 \} \,, \\
W_2 &= \{ (x, y, z, t, v) \in \mathbb{R}^5 \mid 2x - y + z + 2t + v = 0 \} \,, \\
W_3 &= \{ (x, y, z, t, v) \in \mathbb{R}^5 \mid -6x + 13y + 7z - 30t + 3v = 0 \}
\end{aligned}

vektör uzayları veriliyor. Bu vektör uzaylarının her birinin alt uzayı olan bir vektör uzayının boyutu en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 0
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$
Bu üç vektör uzayın da alt uzayında yer alan bir $(x,y,z,t,v)$ vektörü, $$x+2y+3z-5t+2v=0$$ $$2x-y+z+2t+v=0$$ $$-6x+13y+7z-30t+3v=0$$ eşitliklerini sağlar. Eğer matris haline çevirirsek, $$\begin{pmatrix}1&2&3&-5&2\\ 2&-1&1&2&1\\ -6&13&7&-30&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$ eşitliğini sağlar. Eğer matrisin eşolon formuna getirirsek, $$\begin{pmatrix}1&0&1&-1/5&-1/5\\ 0&1&1&-12/5&3/5\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$ elde edilir. Buradan da çözümler $$x=-z+\frac{1}{5}t+\frac{1}{5}v$$ $$y=-z+\frac{12}{5}t-\frac{3}{5}v$$ olarak bulunur. Yani $z,t,v$ serbest değişkenlerdir. $3$ tane serbest değişken olduğundan alt uzayın boyutu en fazla $3$ olabilir. (veya $2$ tane bağımlı değişken olduğundan da $5-2=3$'tür denilebilir.) Örnek durum olarak $W_1\cap W_2\cap W_3$ verilebilir.