Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 3

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Pozitif tam sayılardan oluşan $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ sonsuz dizisi ve $N$ pozitif tam sayısı verilmiştir. Bu dizide her $n>N$ için $a_{n}$ terimi; $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}$ terimlerinden $a_{n-1}$ terimine eşit olanların sayısına eşittir.

$a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots$ ve $a_{2}, a_{4}, a_{6}, \ldots$ dizilerinin en az bir tanesinin bir yerden sonra periyodik olduğunu ispatlayınız.

($b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ sonsuz dizisi; her $m \geqslant M$ için $b_{m+p}=b_{m}$ olacak şekilde $p$ and $M$ pozitif tam sayıları varsa bir yerden sonra periyodiktir.)

(Avustralya)