2021 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 03

[matematikolimpiyati]

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{72}$ denkleminin pozitif tam sayılarda kaç $(x,y)$ çözüm ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 28  \qquad\textbf{b)}\ 32  \qquad\textbf{c)}\ 35  \qquad\textbf{d)}\ 27  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Çoklukta}$

[AtakanCİCEK]

Yanıt:$35$

$81)$ $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{n}$ olduğundan $\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{x}$ ve $\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{y}$ olmalıdır. Buradan $x>n$ ve $y>n$ bulunur. Şimdi denklemi düzenlersek, $$\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{n}\Rightarrow xy=nx+ny\Rightarrow (x-n)(y-n)=n^2$$ bulunur. $x>n$ ve $y>n$ olduğundan $(x-n)$ ve $(y-n)$ ifadeleri pozitiftir. $n^2$'nin her pozitif $a$ böleni için $(x,y)=\left ( a+n,\dfrac{n^2}{a}+n \right )$ çözümü bulunur. Dolayısıyla toplam çözüm sayısı $n^2$'nin pozitif bölen sayısıdır.

Burdan yola çıkarsak $72^2=2^6.3^4$ yani  $(6+1)(4+1)=35$ olarak bulunur.