Balkan Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$AC>AB$ olan bir $ABC$ dar açılı üçgeninde $A$ köşesinin iç açıortayının $BC$ kenarını kestiği nokta $D$ olsun. $AB$ ve $AC$ doğrularının $BC$ doğrusuna göre simetrikleri $AC$ ve $AB$ doğrularını sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $D$ noktasından geçen bir doğru $AC$ ve $AB$ doğrularını sırasıyla $G$ ve $H$ noktalarında kesiyor öyle ki $G$ noktası $A$ ve $C$ noktaları arasında olup $A$ ve $C$ den farklıdır ve $H$ noktası $B$ ve $F$ noktaları arasında olup $B$ ve $F$ den farklıdır. $\triangle EDG$ ve $\triangle FDH$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin birbirine teğet olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$BE\cap CF=X$  diyelim. $D$  noktası $FBX$  ve $ABE$  üçgenlerinin dış merkezi, $EXC$  ve $AFC$  üçgenlerinin ise iç merkezidir. Öte yandan $\angle BDX=90^{\circ}-\angle BFD=180^{\circ}-\angle XDC=90^{\circ}-\angle AED$  olduğundan $\angle DEG=\angle DFH$  olur, ki bu $ADEFX$  beşgeninin çembersel olmasıdır. $l$  doğrusu $(EDG)$  çemberine $D$  noktasında teğet olsun ve bu doğru üzerinde $P-D-Q$  noktaları sırasıyla alınsın. $\angle DFH=\angle DEG=\angle GDQ=\angle PDH$  olduğundan $l$  doğrusu $(FDH)$  çemberine de teğettir. Dolayısıyla $(EDG)$  ve $(FDH)$  çemberleri birbirlerine teğettir.