$5.a+6.b+7.c=1$ ise $(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c})_{min}=?$

[alpercay]

$a,b,c$ pozitif reel sayılar , $$5.a+6.b+7.c=1$$ olmak üzere  $$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}$$ ifadesinin en küçük tam sayı değeri kaçtır?

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$LHS=\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}=\dfrac{10}{5a}+\dfrac{18}{6b}+\dfrac{28}{7c}\overbrace{\geq}^{Bergström} \dfrac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{18}+\sqrt{28}\right)^2}{5a+6b+7c}=\left(\sqrt{10}+\sqrt{18}+\sqrt{28}\right)^2$$
olarak minimum değer tayin edilebilir.

[alpercay]

$<,>$ iç çarpımı göstermek üzere , Titu lemma ya da Bergström eşitsizliğini kullanmadan $$<X,Y>\le |X|\cdot |Y|$$ skaler çarpım eşitsizliği ile de çözülebiliyor. Burada vektörleri $X=(\sqrt{2/a},\sqrt{3/b},\sqrt{4/c})$   ve  $Y=(\sqrt{5a},\sqrt{6b},\sqrt{7c})$ almak gerekiyor.
$$((\sqrt{2/a},\sqrt{3/b},\sqrt{4/c})\cdot (\sqrt{5a},\sqrt{6b},\sqrt{7c}))^2\le (\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c})\cdot(5a+6b+7c)$$  $$(\sqrt{18}+\sqrt{28}+\sqrt{10}]^2\le \dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}$$  $$161,093\le \dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}$$  $$(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c})_{min}=162$$ bulunur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Evet hocam haklısınız. Benim yazdığım çözümde de Bergström Eşitsizliği Cauchy Eşitsizliği'ne, Cauchy Eşitsizliği de skaler çarpım eşitsizliğine dayanmaktadır.

[NazifYILMAZ]

LHS  ne demek arkadaşlar

[Metin Can Aydemir]

LHS  ne demek arkadaşlar

Left-hand side demek. Yani eşitliğin, eşitsizliğin veya denkliğin sol tarafındaki ifade demek. RHS ise tam tersi right-hand side demek.

[alpercay]

AO-GO kullanılarak yapılan bir çözüm: $$(5a+6b+7c)\cdot \left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=56+\left(\dfrac{15a}{b}+\dfrac{12b}{a}\right)+\left(\dfrac{20a}{c}+\dfrac{14c}{a}\right)+\left(\dfrac{24b}{c}+\dfrac{21c}{b}\right)$$   $$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}\ge 56+12\sqrt 5+4\sqrt 70+12\sqrt 14\cong161,19$$  $$\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}\right)_{\text{min}}=162$$