(k₂=1, N=3) Kesen Problemi

[geo]

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_2 = 1, N=3)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB:DC=1$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = 12^\circ$, $\angle ACB = c = 18^\circ$, $\angle BAC = a = 150^\circ$, $\angle ADC = d = 30^\circ$, $\angle BAD = a_1 =18^\circ $, $\angle CAD = a_2 = 132^\circ$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_2 = 1 & 3.0 & (b = 12^\circ, c = 18^\circ, d = 30^\circ)  & k_2 = 1 \\
& 3.1 & (k_2 = 1, b=12^\circ, c = 18^\circ)  & a_1 = 18^\circ \\
& 3.2 & (k_2 = 1, a=150^\circ, d = 30^\circ)  & a_1 = 18^\circ \\
& 3.3 & (k_2 = 1, b=12^\circ, a_1 = 18^\circ)  & a_2 = 132^\circ  \\
& 3.4 & (k_2 = 1, b=12^\circ, a_2 = 132^\circ )  & a_1 = 18^\circ \\
& 3.5^* & (k_2 = 1, c=18^\circ, a_1 = 18^\circ)  & a_2 = 132^\circ \text{ veya } a_2 = 12^\circ \\
& 3.6 & (k_2 = 1, c=18^\circ, a_2 = 132^\circ)  & a_1 = 18^\circ \\
& 3.7 & (k_2 = 1, a_1=18^\circ , a_2 = 132^\circ)  & b = 12^\circ \\

\end{array}
$$

İlgili soruların çözümleri:

3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 3.0) \equiv (b=12^\circ , c = 18^\circ, d = 30^\circ) \Longrightarrow k_2 = 1 $

Çözüm:

$[DC$ üzerinde $AB=AE$ olacak şekilde $E$ noktası aldığımızda $\angle AED = 12^\circ$, $\angle ADE = 30^\circ$ ve $\angle ACD = 18^\circ$ olduğu için problem $(k_2=1, N=4.0)$ sorusuna döner. Buradan $CD = AE = AB$ elde edilir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 3.1) \equiv (b=12^\circ , c = 18^\circ) \Longrightarrow a_1 = 18^\circ $

Çözüm:

$[DC$ üzerinde $AB=AE$ olacak şekilde $E$ noktası aldığımızda $\angle AED = 12^\circ$, $\angle EAC = 6^\circ$ ve $AE=CD$ olduğu için problem $(k_2=1, N=4.3)$ sorusuna döner. Oradan $\angle ADE = 30^\circ$ elde edilir.
Bu durumda $a_1 = \angle BAD = 18^\circ$ olur.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 3.2) \equiv (a=150^\circ , d = 30^\circ) \Longrightarrow a_1 = 18^\circ $

Çözüm:

$\angle ADB = \angle BAC = 150^\circ$ olduğu için $BA^2 = BD \cdot BC$ dir.
$BA=1$, $BD=x$ dersek $1 = x(x+1) \Longrightarrow x^2 + x - 1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac {\sqrt 5 - 1}{2}$ elde ederiz.
$\angle BAD = \alpha$ diyelim.
$\triangle ABD$ de Sinüs Teoreminden $\dfrac {1}{\sin 150^\circ} = \dfrac {\dfrac{\sqrt 5 - 1}{2}}{\sin \alpha} \Longrightarrow \sin \alpha = \dfrac {\sqrt 5 - 1}{4} = \sin 18^\circ \Longrightarrow a_1 = \alpha = 18^\circ$ dir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 3.3) \equiv (b=12^\circ , a_1 = 18^\circ) \Longrightarrow a_2 = 132^\circ $

Çözüm:

$[DC$ üzerinde $AB=AE$ olacak şekilde $E$ noktası aldığımızda $\angle AED = 12^\circ$, $\angle ADE = 30^\circ$ ve $AE=CD$ olduğu için problem $(k_2=1, N=4.1)$ sorusuna döner. Oradan $\angle DAC = 132^\circ$ elde edilir.
Bu durumda $a_2 = 132^\circ$ olur.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 3.4) \equiv (b=12^\circ , a_2 = 132^\circ) \Longrightarrow a_1 = 18^\circ $

Çözüm:

$[DC$ üzerinde $AB=AE$ olacak şekilde $E$ noktası aldığımızda $\angle AED = 12^\circ$, $\angle DAC = 132^\circ$ ve $AE=CD$ olduğu için problem $(k_2=1, N=4.4)$ sorusuna döner. Oradan $\angle ADC = 30^\circ$ elde edilir.
Bu durumda $a_1 = 18^\circ$ olur.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 3.5) \equiv (c=18^\circ , a_1 = 18^\circ) \Longrightarrow a_2 = 132^\circ \text { veya } a_2 = 12^\circ $

(k_2=1, N=13.5) problemi ile bu problem özdeştir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 3.6) \equiv (c=18^\circ , a_2 = 132^\circ) \Longrightarrow a_1 = 18^\circ $

Çözüm:

$[DC$ üzerinde $AB=AE$ olacak şekilde $E$ noktası aldığımızda $\angle ADE = 30^\circ$, $\angle DAC = 132^\circ$ ve $AE=CD$ olduğu için problem $(k_2=1, N=4.6)$ sorusuna döner. Oradan $\angle AED = 12^\circ$ elde edilir.
Bu durumda $\angle ABC= 12^\circ$ ve $a_1 =\angle BAD  = 18^\circ$ olur.