Bergstorm Eşitsizliği'ni ve Maclaurin Eşitsizliği'nin bir sonucu olarak ve Lokman hocamın da foruma girmiş olduğu
Toplamın Karesi İle İlgili Temel Eşitsizliği kullanırsak
$$\sum_{cyc-i}{\left(\dfrac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}}\right)}=\sum_{cyc-i}{\left(\dfrac{x_i^2}{x_i\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}\right)}\right)}\geq \dfrac{\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2}{2\sum_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}}\geq \dfrac{n}{n-1}$$
$$\sum_{cyc-i}{\left(\dfrac{\lambda}{x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}}\right)}=\lambda\left(\sum_{cyc-i}{\left(\dfrac{x_i+\lambda}{x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}}\right)}\right)\geq \dfrac{\lambda n^2}{\left(n-1\right)\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)}$$
O zaman bu iki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak
$$LHS=\sum_{cyc-i}{\left(\dfrac{x_i+\lambda}{x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}}\right)}+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\geq \dfrac{\lambda n^2}{\left(n-1\right)\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)}+\dfrac{n}{n-1}+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}$$
$$=\dfrac{\lambda n^2+n\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)+\dfrac{n\left(n-1\right)^2\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)}{2}}{\left(n-1\right)\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)}$$
Şimdi $\sum\limits_{cyc}{x_1}$ ile ilgili bir $n$'e bağlı bir eşitsizlik elde edelim. Toplamın karesi ile ilgili eşitsizliği kullanırsak
$$\left(\sum_{cyc}{x_1}\right)^2\geq \dfrac{2n}{n-1}\sum_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}=n^2\Rightarrow \sum_{cyc}{x_1}\geq n$$
Şimdi aşağıdaki eşitsizliğin doğru olduğunu $\sum\limits_{cyc}{x_1}\geq n$ bilgisiyle
$$LHS\geq \dfrac{n^3\left(\lambda+1+\dfrac{\left(n-1\right)^2}{2}\right)}{\left(n-1\right)\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^2}$$
gösterelim.
$$LHS\geq \dfrac{\lambda n^2+n\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)+\dfrac{n\left(n-1\right)^2\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)}{2}}{\left(n-1\right)\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)}\geq \dfrac{\lambda n^2+n^2+\dfrac{n^2\left(n-1\right)^2}{2}}{\left(n-1\right)\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)}\geq \dfrac{n^3\left(\lambda+1+\dfrac{\left(n-1\right)^2}{2}\right)}{\left(n-1\right)\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^2}$$
$$\Rightarrow \sum\limits_{cyc}{x_1}\geq \dfrac{n^3\left(\lambda+1+\dfrac{\left(n-1\right)^2}{2}\right)}{\lambda n^2+n^2+\dfrac{n^2\left(n-1\right)^2}{2}}=n$$
ki son ifade elde ettiğimiz bilgiyle uyuşur. Ayrıca Cauchy'den bildiğimiz eşitsizliği uygularsak
$$n\sum_{cyc}{x_1}\overbrace{\geq}^{Cauchy} \left(\sum_{cyc}{\sqrt{x_1}}\right)^2\Rightarrow \dfrac{n^3\left(\lambda+1+\dfrac{\left(n-1\right)^2}{2}\right)}{\left(n-1\right)\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^2}\geq \dfrac{n^3\left(\lambda+1+\dfrac{\left(n-1\right)^2}{2}\right)\left(\sum_{cyc}{\sqrt{x_1}}\right)}{n(n-1)\left(\sum_{cyc}{x_1}\right)^3}$$
$$=\dfrac{n^2\left(\lambda+1+\dfrac{n-1}{2}\right)\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\cdots+\sqrt{x_n}\right)^2}{\left(n-1\right)\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)}$$
olduğunu söyleyebiliriz. O zaman
$$LHS\geq \dfrac{n^3\left(\lambda+1+\dfrac{\left(n-1\right)^2}{2}\right)}{\left(n-1\right)\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^2}\geq \dfrac{n^2\left(\lambda+1+\dfrac{n-1}{2}\right)\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\cdots+\sqrt{x_n}\right)^2}{\left(n-1\right)\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)}$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.
