Genelleştirilmiş Türkiye TST 2022 #7

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$x,y,z,\lambda,a_{1},b_{1}$ pozitif reel sayılar olmak üzere


$$\lambda \left(xy+yz+xz\right) + \dfrac{a_{1}\left(b_{1}+1\right)}{b_{1}x}+\dfrac{b_{1}\left(a_{1}+1\right)}{a_{1}y}+\dfrac{a_{1}+b_{1}}{a_{1}b_{1}z} \geq 3\sqrt[3]{\lambda a_{1}b_{1}}\left(\dfrac{a_{1}+b_{1}+a_{1}b_{1}}{a_{1}b_{1}}\right)$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\lambda ,a_{1},a_{2},\cdots,a_{n-1}$ pozitif reeller ($n\geq 3$) olmak üzere



$$\sum_{j=1}^{n-1}{\left(\dfrac{a_{j}\left(1+\sum_{p=1}^{n-1}{\left(\dfrac{1}{a_{p}}\right)-\dfrac{1}{a_{j}}}\right)}{x_{j}}\right)}+\dfrac{\sum_{k=1}^{n-1}{\left(\dfrac{1}{a_{k}}\right)}}{x_{n}}\geq n\sqrt[n]{\lambda \prod{a_{1}}}\left(1+\sum_{p=1}^{n-1}{\dfrac{1}{a_{p}}}\right)$$


olduğunu gösteriniz.