Genelleştirilmiş JBMO 2014 #3 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ pozitif reeller ($n>2$) ve $\prod{a_{1}}=\left(n-2\right)^n$ olmak üzere

$$\sum_{cyc}{\left(a_{1}+\dfrac{n-2}{a_{2}}\right)^2}\geq n\left(\sum_{cyc}{a_{1}} +1\right)$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\sum_{cyc}{\left(a_{1}+\dfrac{n-2}{a_{2}}\right)^2}\overbrace{\geq}^{Titu} \dfrac{\left(\sum_{cyc}{a_{1}}+(n-2)(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_{1}}})\right)^2}{n}\overbrace{\geq}^{AM-GM} \dfrac{\left(\sum_{cyc}{a_{1}}+n\right)^2}{n}$$

$$\dfrac{\left(\sum_{cyc}{a_{1}}+n\right)^2}{n}\geq n\left(\sum_{cyc}{a_{1}}+1\right)$$

Sondaki ifadenin ispatını yapalım.
$\sum_{cyc}{a_{1}}=k$ değerini atayalım.
$$(k+n)^2\geq n^2(k+1)$$
$$k^2+2nk+n^2\geq n^2k+n^2 \rightarrow k^2+2nk\geq n^2k$$
$$k+2n\geq n^2$$
Sondaki ifade doğrudur.
$$k=\sum_{cyc}{a_{1}}\geq n\sqrt[n]{\prod{a_{1}}}=n\sqrt[n]{(n-2)^n}=n(n-2)$$

İspat biter.