Lise 1. Aşama 2023/21 Benzeri

[geo]

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $A$ noktasında teğet olan doğru ile $[BC$ ışını $D$ noktasında kesişmektedir. $\angle CAD = 75^\circ$, $|BC|=2-\sqrt 3$ ve $|CD|=2+\sqrt 3$ ise $\dfrac {|AB|^2}{|AD|^2}$ kaçtır?

[geo]

$AD^2=DC\cdot DB = (2+\sqrt 3)(2+\sqrt3 + 2 -\sqrt 3)=8+4\sqrt 3 = 4(2+\sqrt 3)$

$\triangle ACD$ de Kosinüs Teoreminden $AD^2+AC^2-2\cdot AD\cdot AC\cdot \cos 75^\circ = CD^2$.
$AC=x$ dersek $$8+4\sqrt 3 + x^2 -2x\sqrt{8+4\sqrt 3}\cos 75^\circ = 7+4\sqrt 3 \tag{1}$$ elde ederiz.
$\cos 75^\circ= \dfrac {1}{\sqrt{8+4\sqrt 3}}$ olduğu için $(1)$ deki denklemden $$x^2-2x+1=0 \Longrightarrow x=1$$ elde ederiz.
$\triangle ACD \sim \triangle BAD$ olduğu için $$\dfrac{AC}{BA}=\dfrac{AD}{BD} \Longrightarrow \dfrac{1}{BA}=\dfrac {\sqrt{8+4\sqrt 3}}{4} \Longrightarrow BA^2 = \dfrac{4}{2+\sqrt3}$$
$$\dfrac{AB^2}{AD^2}=\dfrac{1}{(2+\sqrt 3)^2}=(2-\sqrt3)^2=7-4\sqrt 3$$

[geo]

$\triangle ACD \sim \triangle BAD$ olduğu için $\dfrac{AC}{BA}=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{CD}{\sqrt{DC\cdot DB}}=k=\text{Sabit}$
Bu durumda $A$ noktalarının geometrik yeri $B$, $C$ ve $k$  tarafından belirlenen Apolonyus çemberi ile $\angle ABC = 75^\circ$ olduğu için sabit  $d=BA$ doğrusunun kesişim noktalarıdır. Bu şekilde ya hiçbir nokta yoktur, ya tek nokta vardır, ya da iki nokta vardır.

$\angle ABC = 90^\circ$ nin sağladığı kolayca görülebilir:
$\angle ABC = 90^\circ$ olduğunda $AB^2=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=1$ ve $BD=4$ olduğu için $15^\circ - 75^\circ - 90^\circ$ üçgeninin özellikleri sağlanır.
Bu durumda $\dfrac {AB^2}{AD^2}=\dfrac {BC}{CD}=\dfrac {2-\sqrt3}{2+\sqrt3}=(2-\sqrt 3)^2=7-4\sqrt 3$ olur.

Bu $ABC$ üçgeninin iç açıortayı $AN$, dış açıortayı $AK$ olsun. $BA$ doğrusu $KN$ çaplı çembere $A$ noktasında teğettir ($\angle NKA = \angle CAN =  \angle BAN$). Bu çember çözümün başında bahsettiğiniz Apolonyus çemberidir.
O halde aradığımız özellikte tek bir $A$ noktası vardır.