Benzer bir problemi daha önce görmeyen ortaokul öğrencileri için zorlu bir problemdir. Hatta lise öğrencileri için bile zorlu bir problemdir. Çünkü, aşağıda ispatlayacağımız ve çözümün önemli bir kısmını oluşturan
$$ \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_{n} } \geq n-1 $$
eşitsizliğinin benzeri bir problem 1998 Vietnam Matematik Olimpiyatı'nda 4. problem olarak sorulmuştur. Ben de böyle bir problemden edindiğim deneyimle aşağıdaki çözümü yapabildim. (Bahsettiğim problem listesini Titu Andreescu ve Zuming Feng'in kitabında gördüm. Ancak AoPS ve kalva gibi sitelerde 1997-1998-1999 yılı soruları daha farklı. T. Andreescu'nun kaynağı ile ilgili bir sorun görünüyor.) Şimdi çözüme geçelim.
Çözüm [Lokman Gökçe]: $y_i = \dfrac{1}{1+x_i}$ dönüşümü yapılırsa $x_i = \dfrac{1-y_i}{y_i}$ ve $y_1 + y_2 + \cdots + y_n = 1$ olur. $y_1 y_2 \cdots y_n = P$ ile gösterelim.
$1 - y_i = y_1 + y_2 + \cdots + y_{i-1} + y_{i+1}+\cdots + y_n$ şeklinde $n-1$ terimin toplamından oluştuğundan, aritmetik ortalama - geometrik ortalama eşitsizliğinden
$$ 1 - y_i = y_1 + y_2 + \cdots + y_{i-1} + y_{i+1}+\cdots + y_n \geq (n-1)\sqrt[n-1]{y_1 y_2 \cdots y_{i-1} y_{i+1}\cdots y_n} = (n-1)\sqrt[n-1]{P/y_i} $$
olur. Böylece $$ \dfrac{1 - y_i }{y_i} = (n-1)\dfrac{\sqrt[n-1]{P/y_i}}{y_i}$$
elde edilir. Bu eşitsizlikleri $i=1,2,\dots, n$ için taraf tarafa çarparsak
$$ x_1 x_2 \cdots x_{n} = \dfrac{1 - y_1 }{y_1}\cdot \dfrac{1 - y_2 }{y_2}\cdots \dfrac{1 - y_n }{y_n} \geq (n-1)^n \dfrac{\sqrt[n-1]{P/y_1}}{y_1} \cdot \dfrac{\sqrt[n-1]{P/y_2}}{y_2} \cdots \dfrac{\sqrt[n-1]{P/y_n}}{y_n} = (n-1)^n \dfrac{P}{y_1y_2\cdots y_n} = (n-1)^n$$
olup
$$ \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_{n} } \geq n-1 $$
elde edilir.
Böylece, $$ \dfrac{1}{n} \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_{n} } \geq \dfrac{n-1}{n} = 1 - \dfrac{1}{n}$$
olur. Öte yandan, $a=\min \{x_1, x_2, \dots, x_n \}$ olduğundan $ \dfrac{1}{1+x_1} + \dfrac{1}{1+x_2} + \cdots + \dfrac{1}{1+x_n} =1 $ eşitliğinden $ \dfrac{n}{1+a} \geq 1$ bulunur. Buradan $n\geq a + 1$ olur. $\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{a+1}$ olup
$$ \dfrac{1}{n} \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_{n} } \geq 1 - \dfrac{1}{n} \geq \dfrac{a}{a+1} $$
sonucuna ulaşılır.
