2005 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 5

[matematikolimpiyati]

Her $n \geq 1$ için
$$x_{n+2} = \sqrt{x_{n+1}}-\sqrt{x_n}$$
eşitliğini sağlayan pozitif terimli $x_1,x_2,x_3,...,x_n,...$ dizisinin var olmadığını gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

Böyle bir dizinin olduğunu varsayalım. Dizi pozitif terimli olduğundan $\sqrt{x_{n+1}}>\sqrt{x_n}$ olur, dolayısıyla dizi kesinlikle artandır. Dolayısıyla $$0<x_{n+2}-x_{n+1}=\sqrt{x_{n+1}}-\sqrt{x_n}-x_{n+1}<\sqrt{x_{n+1}}-x_{n+1}\implies 0<x_{n+1}<1$$ bulunur. Yani $n\geq 2$ için dizinin terimleri $1$'den küçüktür, ayrıca artan olduğundan dolayı $x_1$ de $1$'den küçüktür.

Dizi hem artan hem de sınırlı olduğundan bir limiti vardır. Bu limit $L$ olsun. Yani $\lim\limits_{n\to \infty} x_n=L$ olsun. $$L=\lim\limits_{n\to \infty} x_{n+1}\implies \sqrt{L}=\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{x_{n+1}}=\lim\limits_{n\to \infty} \left[ x_{n+2}+\sqrt{x_n}\right]=L+\sqrt{L}\implies L=0$$ elde edilir. Ancak dizi artan olduğundan $0$'a yakınsaması imkansızdır. Dolayısıyla bu bir çelişkidir. Böyle bir dizi yoktur.